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> Textes originaux > Analysis Situs > § 8. Variétés unilatères et bilatères Cette page présente la transcription d’une section des Œuvres Complètes de Poincaré. Vous pouvez retrouver nos commentaires par ici. § 8. Variétés unilatères et bilatères |
Considérons une variété $V$ définie à la seconde manière, c’est-à-dire formée d’une chaîne ou d’un réseau de variétés partielles dont chacune est définie elle-même par des relations de la forme (8) et (9) .
Soit $v_1$ une variété partielle définie par les conditions
$$ \begin{array}{cc} x_i= & \theta_i(y_1, y_2,\dots, y_m),\\ & \vert y_k\vert<\beta_k. \end{array} $$
Soit $v_2$ une autre variété partielle et définie par les conditions
$$ \begin{array}{cc} x_i = & \theta'_i(z_1, z_2,\dots, z_m),\\ & \vert z_k\vert<\gamma_k. \end{array} $$
Supposons que ces deux variétés aient une partie commune $v'$ formant une variété continue. Je dis qu’à l’intérieur de cette variété le déterminant fonctionnel
$$\Delta=\frac{\partial(y_1, y_2,\dots, y_m)}{\partial(z_1, z_2,\dots, z_m)}$$
est toujours de même signe.
En effet, il ne pourrait changer de signe sans s’annuler ou sans devenir infini. Or on a
$$\Delta=\frac{\partial(x_1, x_2,\dots, x_m)}{\partial(z_1, z_2,\dots, z_m)}:\frac{\partial(x_1, x_2,\dots, x_m)}{\partial(y_1, y_2,\dots, y_m)},$$
de sorte que $\Delta$ est lui-même le rapport de deux déterminants fonctionnels ; comme ces deux déterminants fonctionnels sont essentiellement finis, $\Delta$ ne pourrait s’annuler que si l’on avait
$$\frac{\partial(x_1, x_2,\dots, x_m)}{\partial(z_1, z_2,\dots, z_m)}=0$$
[1] et comme rien ne distingue les $m$ premières variables $x_1, x_2,\dots, x_m $ des $n-m$ autres $x_{m+1}, x_{m+2},\dots, x_n $ il faudrait que le déterminant fonctionnel de $m$ quelconque des $x$ par rapport aux $z$ fût nul.
Tous les déterminants fonctionnels des fonctions $\theta'$ devraient donc s’annuler, à la fois, ce qui n’a jamais lieu par hypothèse. $\Delta$ ne peut donc s’annuler, et l’on verrait absolument de même qu’il ne peut pas non plus devenir infini.
$\Delta$ est dont toujours de même signe et nous pourrons choisir l’ordre des variables $z$ de telle façon que ce signe soit toujours positif.
Une difficulté pourrait se présenter dans certains cas ; supposons que la partie commune à $v_1$ et à $v_2$, au lieu de se réduire à une seule variété continue $v'$, se compose de plusieurs variétés continues $v',v'',v'''$ ; dans chacune d’elles, le signe de $\Delta$ demeurera constant, mais il pourra changer lorsque l’on passera de l’une à l’autre. Dans ce cas, nous dirons que la variété $V$ est unilatère.
Supposons que cette circonstance ne se présente pas, et considérons une suite de variétés partielles formant une chaîne fermée
$$v_1, v_2, \dots, v_q, v_1.$$
Soient
$$y^{i}_1, y^{i}_2, \dots, y^{i}_m$$
les $m$ variables qui jouent le rôle de $y_1, y_2,\dots, y_m$ par rapport à $v_i$.
Supposons que $v_1$ et $v_2$ aient une partie commune $v'_1$, $v_2$ et $v_3$ une partie commune $v'_2$, $\dots$, $v_{q-1}$ et $v_q$ une partie commune $v'_{q-1}$ et $v_q$ et enfin $v_1$ une partie commune $v'_q$.
Soit $\Delta_i$ le déterminant fonctionnel de
$$y^{i+1}_1, y^{i+1}_2, \dots, y^{i+1}_m$$
par rapport à
$$y^{i}_1, y^{i}_2, \dots, y_m^i.$$
Ce déterminant sera défini à l’intérieur de $v'_i$.
Je définis de même à l’intérieur de $v'_q$ le déterminant fonctionnel $\Delta_q$ de
$$y^{1}_1, y^{1}_2, \dots, y^{1}_m$$
par rapport à
$$y^{q}_1, y^{q}_2, \dots, y^{q}_m.$$
D’après ce que nous venons de voir, nous pouvons toujours choisir l’ordre des variables de telle façon que
$$\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_{q-1}$$
soient toujours positifs. D’autre part, $\Delta_q$ est toujours de même signe, mais ce signe constant est-il le signe $+$ ou le signe $-$ ?
Si c’est le signe $-$, je dirai encore que la variété $V$ est unilatère. Je pourrai dire aussi que les variétés $v_1, v_2, \dots, v_q$ forment un chaîne unilatère.
Supposons maintenant que l’on ait construit un certain réseau continu de variétés partielles
$$ \tag{4} v_1, v_2, \dots, v_q, $$
de telle sorte que tout point de $V$ soit à l’intérieur (j’exclus la frontière) de l’une des variétés (4) ou de plusieurs d’entre elles. Si, dans la partie commune à deux quelconques des variétés (4) , le déterminant $\Delta$ est positif, je dirai que la variété $V$ est bilatère. Si elle ne l’était pas, il est clair qu’on pourrait toujours, avec quelques-unes des variétés (4), former une chaîne unilatère et que la variété $V$ serait unilatère. Je pourrai dire aussi que le réseau des variétés (4) forme un système bilatère.
Mais pour justifier complètement notre définition, il faut faire voir que $V$ ne peut pas être à la fois unilatère et bilatère. Il est clair d’abord que, dans le système bilatère (4), on ne peut pas trouver de chaîne unilatère.
Mais il reste à montrer que le système (4) restera bilatère quand on y adjoindra une variété quelconque $v_{q+1}$ faisant partie de $V$.
Soit $v'_i$ la partie commune à $v_i$ et $v_{q+1}$ ; tout point de $v_{q+1}$ appartiendra au moins à l’une des variétés $v'_i$ et, comme $v_{q+1}$ est continu, si je considère deux points $M_1$ et $M_k$ de $v_{q+1}$ appartenant respectivement à $v'_1$ et $v'_k$, on pourra trouver des variétés intermédiaires que je pourrai appeler (puisque le numérotage reste arbitraire)
$$v'_1, v'_2, \dots, v'_k,$$
et qui formeront une chaîne.
Je pourrai toujours choisir l’ordre des variables analogues aux $y$ qui définissent la variété $v_{q+1}$, de telle façon que, dans $v'_1$, le déterminant analogue à $\Delta$ et relatif à $v_1$ et $v_{q+1}$ soit positif ; je l’appellerai $\Delta_1$.
Appelons, de même, $\Delta_i$ le déterminant analogue à $\Delta$ et relatif à $v_i$ et $v_{q+1}$ ; $\Delta_i$ est défini à l’intérieur de $v'_i$.
Soit ensuite $\Delta'$ le déterminant relatif à $v_1$ et $v_2$ ; il sera défini dans toute la partie commune à ces deux variétés et, en particulier, dans la partie commune à $v'_1$ et $v'_2$ ; il sera positif puisque le système (4) est bilatère.
Alors, dans la partie commune à $v'_1$ et $v'_2$, $\Delta_1$ et $\Delta'$ sont positifs, il en résulte que leur rapport
$$\Delta_2=\frac{\Delta_1}{\Delta'}$$
est positif, et comme il conserve toujours le même signe, il sera positif pour tous les points de $v'_2$.
On démontrerait de proche en proche que $\Delta_3,\dots,\Delta_k$ sont également positifs.
Le système restera donc bilatère après l’adjonction de $v_{q+1}$ ; il le restera encore si, dans l’expression des équations d’une des variétés $v_i$, on remplace les variables $y_1, y_2,\dots, y_m$ par des fonctions holomorphes de variables nouvelles $y'_1, y'_2,\dots, y'_m$ dont le déterminant fonctionnel ne s’annule jamais (ce qui est nécessaire si l’on veut qu’à un système de valeurs des $y$ corresponde un seul système de valeurs des $y'$). Il faut, bien entendu, choisir l’ordre des nouvelles variables $y'$ de telle façon que ce déterminant fonctionnel soit positif.
Le système restant toujours bilatère, on n’y pourra construire de chaîne unilatère, de sorte qu’une variété ne peut pas être à la fois bilatère et unilatère.
C. Q. F. D.
Tout le monde connaît l’exemple de surface unilatère que l’on obtient en ployant un rectangle de papier $ABCD$ (dont les côtés opposés sont $AB$ et $CD$ d’une part, $BC$ et $DA$ d’autre part), et en collant ensuite ensemble les côtés $AB$ et $CD$ de façon que $A$ soit collé [2] avec $C$ et $B$ avec $D$.
Les exemples de variétés bilatères sont plus aisés encore à former. Ainsi dans l’espace à $n$ dimensions :
- Tout domaine à $n$ dimensions est bilatère ;
- Toute courbe à $1$ dimension est bilatère ;
- Toute surface fermée à $n-1$ dimensions est bilatère.
Mais on peut aller plus loin.
Considérons une variété $V$ définie à la première manière, c’est-à-dire par des égalités et des inégalités de la forme (1). Je dis qu’elle sera toujours bilatère.
Soient, en effet,
$$F_1=F_2=\dots=F_p=0$$
les $p$ égalités qui, avec quelques inégalités que nous n’écrirons pas, définissent $V$. Partageons $V$ en un certain nombre de variétés partielles $v$, définies par des relations de la forme (8) et (9). Soient
$$v_1, v_2, \dots, v_q, v_1$$
un certain nombre de variétés partielles formant une chaîne continue, c’est-à-dire telles que chacune d’elles ait avec la suivante une partie commune. Je dis que cette chaîne est toujours bilatère.
En effet, nous avons supposé plus haut que les déterminants fonctionnels des $p$ fonctions $F$ par rapport à $p$ quelconques des variables $x$ ne s’annulent jamais tous à la fois. Je puis donc supposer que les variétés $v$ sont assez petites pour que, à l’intérieur de $v_1$, l’un des déterminants fonctionnels (que j’appellerai $\Delta_1$) ne s’annule pas ; pour que, à l’intérieur de $v_2$, un autre de ces déterminants (que j’appellerai $\Delta_2$) ne s’annule pas, et ainsi de suite.
S’il n’en était pas ainsi, on n’aurait qu’à subdiviser chacune des variétés $v$ en variétés plus petites.
Soit, par exemple,
$$ \begin{array}{l} \begin{aligned} \Delta_1&=\frac{\partial (F_1, F_2,\dots,F_p)}{\partial (x_{\alpha_1}, x_{\alpha_2},\dots, x_{\alpha_p})},\\ \Delta_2&=\frac{\partial (F_1, F_2,\dots,F_p)}{\partial (x_{\beta_1}, x_{\beta_2},\dots, x_{\beta_p})}, \end{aligned} \\ \dots \end{array} $$
Comme l’ordre des lettres $x_{\alpha_1}, x_{\alpha_2},\dots, x_{\alpha_p}$ reste arbitraire et que $\Delta_1$ conserve le même signe à l’intérieur de $v_1$, je pourrai toujours supposer que $\Delta_1$ est positif à l’intérieur de $v_1$. De même, $\Delta_2$ sera positif à l’intérieur de $v_2$ ; et ainsi de suite.
Posons alors à l’intérieur de $v_1$
$$ \tag{13} \left\{ \begin{array}{cccccccc} F_1&=0, & F_2 &=0, & \dots, && F_p&=0,\\ y^1_1&=x'_{\alpha_1}, & y^1_2&=x'_{\alpha_2}, & \dots, && y^1_m&=x'_{\alpha_m}. \end{array} \right. $$
Ici $m=n-p$ ; les variables $x'_{\alpha_i}$ sont les $m=n-p$ variables $x$ qui restent quand on a supprimé les $p$ variables $x_{\alpha_i}$.
Posons de même à l’intérieur de $v_2$
$$ \tag{14} \left\{ \begin{array}{cccccccc} F_1&=0, & F_2 &=0, & \dots, && F_p&=0,\\ y^2_1&=x'_{\beta_1}, & y^2_2&=x'_{\beta_2}, & \dots, && y^2_m&=x'_{\beta_m}. \end{array} \right. $$
Les variables $x'_{\beta_i}$ sont les $m=n-p$ variables $x$ qui restent quand on a supprimé les $p$ variables $x_{\beta_i}$.
Et ainsi de suite.
Je supposerai que l’ordre des variables $x'_{\alpha_i}$ ait été choisi de telle sorte que l’on puisse passer de l’ordre normal des variables $x$, c’est à dire de l’ordre
$$x_1, x_2,\dots,x_n$$
à l’ordre
$$x_{\alpha_1}, x_{\alpha_2},\dots, x_{\alpha_p},\qquad x'_{\alpha_1}, x'_{\alpha_2},\dots, x'_{\alpha_m},$$
par une substitution du groupe alterné.
Alors, en résolvant les équations (13), on verrait qu’à l’intérieur de $v_1$ les $x$ sont des fonctions holomorphes de
$$y^1_1, y^1_2, \dots, y^1_m$$
et ainsi de suite. En général, à l’intérieur des $v_i$, les $x$ seront des fonctions holomorphes de
$$y^i_1, y^i_2, \dots, y^i_m.$$
Il s’agit alors de calculer le déterminant
$$\frac{\partial (y^2_1, y^2_2, \dots, y^2_m)}{\partial (y^1_1, y^1_2, \dots, y^1_m)},$$
ou, pour abréger,
$$\frac{\partial y^2_i}{\partial y^1_i}$$
à l’intérieur de la partie commune à $v_1$ et $v_2$.
Pour cela, remplaçons les équations (13) et (14) par les équations plus générales
$$\tag{13 bis} \left\{ \begin{array}{cccc} F_1=\lambda_1, & F_2 =\lambda_2, & \dots, & F_p=\lambda_p,\\ y^1_i=x'_{\alpha_i} \end{array} \right. $$
$$\tag{14 bis} F_k=\lambda_k, \qquad y^2_i=x'_{\beta_i}. $$
Nous ferons ensuite $\lambda_k=0$.
Résolvons les équations (13bis), nous aurons les $x$ en fonction des $\lambda_k$ et des $y^1_i$ holomorphes à l’intérieur de $v_1$ et le déterminant fonctionnel de
$$x_1, x_2,\dots,x_n$$
par rapport à
$$\lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda_p,\qquad y^1_i, y^2_i, \dots, y^m_i $$
sera évidemment $\frac{1}{\Delta_1}$.
Résolvons de même les équations (14bis), nous aurons les $x$ en fonction des $\lambda_k$ et des $y^2_i$, holomorphes à l’intérieur de $v_2$ et le déterminant fonctionnel sera $\frac{1}{\Delta_2}$.
Il viendra alors, pour les points communs à $v_1$ et $v_2$,
$$\frac{\partial y^2_i}{\partial y^1_i}=\frac{\partial(\lambda_1, \lambda_2,\dots,\lambda_p, y^2_1, y^2_2, \dots, y^2_m)}{\partial(\lambda_1, \lambda_2,\dots,y_p, y^1_1, y^1_2, \dots, y^1_m)}=\frac{\Delta_1}{\Delta_2}.$$
[3]
Il ne reste plus ensuite qu’a faire $\lambda_k=0$ dans les expressions des $x$.
On trouverait de même, dans la partie commune à $v_h$ et $v_{h+1}$,
$$\frac{\partial y^{h+1}_i}{\partial y^h_i}=\frac{\Delta_h}{\Delta_{h+1}},$$
et dans la partie commune à $v_q$ et $v_1$,
$$\frac{\partial y^1_i}{\partial y^q_i}=\frac{\Delta_q}{\Delta_1}.$$
Nous avons vu plus haut que l’on peut toujours supposer que $\Delta_i$ est, à l’intérieur de $v_i$, positif. Tous ces rapports sont donc positifs et la chaîne est bilatère.
C. Q. F. D.
Toutes les variétés qui rentrent dans la première définition sont donc bilatères et, comme j’ai cité plus haut un exemple de variété unilatère satisfaisant à la deuxième définition, nous devons conclure que les variétés qui satisfont à la deuxième définition ne satisfont pas toutes à la première. C’est ce que j’avais annoncé plus haut.
Toute variété unilatère est, par définition, opposée à elle-même.