Lentilles et scindement de Heegaard des espaces lenticulaires

Espaces lenticulaires comme espaces d’identification d’un polyèdre

On peut construire un domaine fondamental pour l’action

$$\tag{1} (z_1,z_2)\mapsto(e^{2i\pi/p}z_1,e^{2iq\pi/p}z_2)$$

du groupe cyclique $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ sur $\mathbb{S}^3$ de la manière suivante. Le demi-hyperplan de $\mathbb{C}^2$ défini par les équations

$$\mathrm{Re}(z_1)=0 \mbox{ et } \mathrm{Im}(z_1)\geq 0$$

intersecte $\mathbb{S}^3$ selon une demi-sphère géodésique de bord le cercle $z_1=0$. Ce cercle est invariant par l’action (1) et les différentes images de la demi-sphère par les éléments du groupe $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ forment une famille de $p$
demi-sphères géodésiques qui se rencontrent toutes le long du cercle invariant $z_1=0$. Un domaine fondamental pour l’action du groupe cyclique $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$ est obtenu en prenant la clôture d’une composante du complémentaire de l’union de cette famille finie de demi-sphères.

On peut visualiser ce domaine fondamental en considérant la projection stéréographique de $\mathbb{S}^3$ sur $\mathbb{R}^3$ depuis le point $(1,0)$ : l’image dans $\mathbb{R}^3$ de la demi-sphère obtenue en intersectant $\mathbb{S}^3$ avec le demi-hyperplan

$$\mathrm{Re}(z_1)=0 \mbox{ et } \mathrm{Im}(z_1)\geq 0$$

est une demi-sphère de $\mathbb{S}^3$. Les images des $p-1$ autres demi-sphères sont des calottes sphériques ayant toutes le même bord que la demi-sphère et formant, les unes avec les autres des angles de $2\pi/p$ (ou multiples). Elles ont aussi toutes le même axe qui est l’image du cercle $z_2=0$. Le nom espaces lenticulaires vient justement de l’aspect de ces domaines fondamentaux « en forme de lentille » comme on le voit sur l’animation suivante qui montre également comme l’action (1) identifie les points du bord de cette lentille.

Topologiquement, chaque domaine fondamental est une boule dont le bord est constitué de deux disques recollés ensemble. L’action cyclique identifie ces deux disques après une rotation de $2\pi q/p$. On peut voir cette boule comme une double pyramide (suspension topologique) de base un $p$-gone. L’identification induite par l’action cyclique correspond alors à recoller chaque face supérieure de la pyramide à une face inférieure après un décalage de $q$ faces comme dans l’animation suivante.

Scindement de Heegaard des espaces lenticulaires

Expliquons maintenant comme associer un scindement de Heegaard de genre 1 à l’espace lenticulaire obtenu comme espace d’identification d’une lentille. Dans l’animation suivante on isole tout d’abord la sous-variété (à bord) constitué des points $(z_1 , z_2)$ dans la lentille vérifiant

$$|z_1|^2 + |z_2 |^2 \leq 1/2.$$

On obtient un cylindre coiffé de deux calottes sphériques qui sont identifiées, par l’action (1) du groupe cyclique $\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$, via un rotation d’angle $2\pi q/p$. Après recollement, l’espace obtenu est un premier tore solide. Dans l’animation $p=5$ et $q=2$.

On peut découper le morceau restant en cinq pièces que l’on peut réassembler en suivant les identifications sur le bord de la lentille. On obtient ainsi une sorte de fromage :

Les deux faces supérieures de ce fromage sont identifiées. On obtient ainsi un deuxième tore solide comme dans l’animation suivante. L’espace lenticulaire est la réunion de ces deux tores solides.

On retrouve que les espaces lenticulaires ont un genre de Heegaard égal à 1, de plus le méridien sur le deuxième tore (la courbe qui fait le tour du fromage) est recollée à la courbe fermée, sur le deuxième tore, associée à la réunion de 5 arcs verticaux dans le cylindre central. La courbe fermée obtenue fait 5 tours dans le sens longitudinal et 2 tours dans le sens méridional. On représente, toujours dans le cas $p=5$ et $q=2$, le diagramme de Heegaard correspondant dans l’animation suivante.

$$ $$