§1 du cinquième complément

J’ai déjà eu souvent l’occasion de m’occuper d’Analysis Situs ; j’ai d’abord publié un Mémoire sur ce sujet dans le tome du Centenaire du Journal de l’École Polytechnique ; ce Mémoire a été suivi de quatre compléments qui ont paru dans le tome XIII des Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, dans le tome XXXVII des Proceedings of the London Mathematical Society, dans le Bulletin de la Société Mathématique de France en 1901, et enfin dans le Journal de Liouville en 1901.

Je reviens encore aujourd’hui sur cette même question, persuadé qu’on n’en pourra venir à bout que par des efforts répétés et qu’elle est assez importante pour les mériter.

Cette fois je me suis borné à l’étude de certaines variétés à trois dimensions, mais les méthodes que j’ai employées pourront être sans doute d’un usage plus général. En passant je me suis étendu assez longuement sur certaines propriétés des courbes fermées que l’on peut tracer sur les surfaces fermées de l’espace ordinaire.

Le résultat final que j’avais en vue est le suivant. Dans le second complément j’ai montré que pour caractériser une variété il ne suffit pas de connaître ses nombres de Betti, mais que certains coefficients que j’ai appelés coefficients de torsion (second complément, § 5, p. 363) jouaient un rôle important.

On pourrait alors se demander si la considération de ces coefficients suffit ; si une variété dont tous les nombres de Betti et les coefficients de torsion sont égaux à $1$ est pour cela simplement connexe au sens propre du mot, c’est-à-dire homéomorphe à l’hypersphère ; ou si, au contraire, il est nécessaire, avant d’affirmer qu’une variété est simplement connexe, d’étudier son groupe fondamental tel que je l’ai défini dans le Journal de l’École Polytechnique, paragraphe 12, page 239.

Nous pouvons maintenant répondre à ces questions ; j’ai formé, en effet, un exemple d’une variété dont tous les nombres de Betti et les coefficients de torsion sont égaux à $1$, et qui pourtant n’est pas simplement connexe.