§5. Extension au cas général d’un théorème du premier complément

Je voudrais revenir sur l’une des questions traitées dans un des mémoires antérieurs (c, § X). Je n’ai envisagé dans l’endroit cité que le cas de $p=3$, et je voudrais faire voir comment on peut étendre les mêmes raisonnements au cas général. Voici de quoi il s’agit :

Soient deux polyèdres réciproques $P$ et $P'$ ; considérons d’une part les éléments $a_i^q$ de $P$, et d’autre part les éléments $b_i^q$ de $P'$. Je suppose que l’on ait trouvé une congruence

$$\tag{1} \sum \lambda_i a_i^q \equiv 0 $$

entre les $a_i^q$ ; je dis qu’on pourra faire correspondre à cette congruence une autre congruence entre les $b_i^q$

$$\tag{2} \sum \mu_i b_i^q \equiv 0, $$

et cela de telle sorte que l’on ait l’homologie

$$\tag{3} \sum \lambda_i a_i^q \sim \sum \mu_i b_i^q. $$

Réciproquement à toute congruence de la forme (2) on pourra faire correspondre une congruence de la forme (1), et cela de telle sorte que les premiers membres de ces deux congruences soient liés par l’homologie (3).

Tel est le théorème qu’il s’agit de démontrer. J’en ai donné une démonstration simple dans le cas de $p=3$, et il s’agit d’étendre cette démonstration au cas général. Je ferai d’abord une première remarque.

Considérons les congruences

$$\tag{4} a_i^q \equiv \sum \epsilon_{ij}^q a_j^{q-1}. $$

Nous savons qu’en les combinant linéairement, on peut en éliminer les $a_j^{q-1}$ et obtenir des congruences de la forme

$$\tag{5} \sum \zeta_i a_i^{q} \equiv 0. $$

Le nombre de congruences distinctes de la forme (5) est celui que nous avons appelé $\alpha_q - \alpha_q''$.

Supposons maintenant que nous considérions les différents éléments $a_i^h$ du polyèdre $P$, où le nombre $h$ des dimensions doit être plus grand que $q$, mais peut être égal à $q + 1$, $q + 2,\dots,p-1$ ou $p$. Nous donnons une fois pour toutes à ce nombre $h$ une valeur déterminée.

Nous répartirons alors les congruences (4) en groupes, en mettant dans le même groupe deux de ces congruences si les deux $a_i^q$ correspondants appartiennent à un même $a_i^h$ ; il est clair qu’il y aura autant de groupes que de $a_i^h$ et qu’une même congruence pourra se retrouver dans plusieurs groupes, puisque $a_i^q$ fait partie de plusieurs $a_i^h$.

En combinant linéairement les congruences (4) d’un même groupe, on pourra alors éliminer les $a_j^{q-1}$ et obtenir des congruences de la forme

$$\tag{5 bis} \sum \zeta'_i a_i^{q} \equiv 0. $$

Les congruences (5 bis) font évidemment partie du système des congruences (5), puisque ce dernier système est celui de toutes les congruences distinctes de cette forme que l’on peut obtenir par la combinaison des congruences (4). En revanche, il peut y avoir dans le système (5) des congruences qui ne font pas partie du système (5 bis) ; et, en effet, nous avons obtenu ce dernier système en imposant des restrictions à notre faculté de combiner les congruences (4) puisque nous ne pouvions combiner que celles d’un même groupe.

Je dis d’abord que la congruence (5 bis) entraîne l’homologie

$$\tag{6} \sum \zeta'_i a_i^{q} \sim 0. $$

En effet, la congruence (5 bis) est une congruence entre les éléments du polyèdre $a_i^h$ et, comme par hypothèse ce polyèdre est simplement connexe, cette congruence doit entraîner l’homologie correspondante.

Réciproquement, si l’homologie (6) a lieu, la congruence correspondante fera partie du système (5 bis). En effet, l’homologie (6) ayant lieu entre les éléments du polyèdre $a_i^h$, doit entraîner la congruence correspondante, et cette congruence doit pouvoir se déduire des congruences fondamentales de la forme (4) relatives au polyèdre $a_i^h$, c’est-à-dire appartenant à un même groupe.

Il résulte de là que le nombre des congruences distinctes du système (5 bis) est $\alpha_q - \alpha'_q$.

Le système (5 bis) reste donc toujours le même quelle que soit la valeur attribuée au nombre $h$.

Nous voyons en même temps que cette considération permettrait de trouver le nombre de Betti $P_q$ en considérant seulement le tableau $T_q$, pourvu que l’on sût, en outre, si deux congruences (4) appartiennent ou non à un même groupe.

Introduisons maintenant une notion qui peut être considérée comme la généralisation de la notion de pyramide. Soit $a_q$ un domaine appartenant à un espace plan $P_q$ à $q$ dimensions ; soit $b_m$ un domaine appartenant à un autre espace plan $P'_m$ à $m$ dimensions. Je supposerai que ces deux espaces plans n’ont aucun point commun. Je pourrai alors par ces deux espaces faire passer un espace plan $\Pi$ à $q+m+1$ dimensions, et un seul.

Cela posé, joignons par des droites chacun des points du domaine $a_q$ à chacun des points du domaine $b_m$. L’ensemble de ces droites engendrera un certain domaine appartenant à l’espace plan $\Pi$, ayant $q+m+1$ dimensions que je désignerai par la notation $a_q b_m$, et que je pourrai appeler pyramide généralisée rectiligne.

Si, en effet, le domaine $a_q$ se réduisait à un polygone plan ($q=2$), et le domaine $b_m$ à un point $(m=0$), le domaine $a_q b_m$ se réduirait à une pyramide ordinaire ayant $a_q$ pour base et $b_m$ pour sommet.

Toute figure homéomorphe à une pyramide généralisée rectiligne pourra s’appeler pyramide généralisée.

Cela posé, envisageons un élément $a_i^q$ du polyèdre $P$ et un élément $b_j^m$ du polyèdre réciproque $P'$ ; cet élément $b_j^m$ correspond à un élément $a_j^{p-m}$ du polyèdre $P$. Je suppose que l’élément $a_i^q$ fasse partie de l’élément $a_j^{p-m}$ ; nous aurons donc

$$ q < p - m ;\quad p \ge q + m + 1. $$

Je remarque de plus que tout point de $b_j^m$ fera partie de l’un des $a_k^p$ dont fait partie $a_j^{p-m}$, et par conséquent de l’un des $a_k^p$ dont fait partie $a_i^q$. Il suffit de le montrer pour les sommets de $b_j^m$ ; or, si $b_k^0$ est l’un de ces sommets, il sera à l’intérieur de $a_k^p$, et comme $b_k^0$ appartient à $b_j^m$, en vertu de la définition même des polyèdres réciproques, $a_j^{p-m}$ appartiendra à $a_k^p$.

Cela posé, nous pouvons à l’intérieur de chacun des $a_k^p$ définir un système de lignes $L$, tel que par deux points quelconques intérieurs à cet $a_k^p$ on puisse mener une ligne $L$, et une seule. Le système des lignes $L$ jouit donc des mêmes propriétés qualitatives que le système des lignes droites. Cela tient à ce que $a_k^p$ est supposé simplement connexe.

Joignons maintenant chacun des points de $b_j^m$ à chacun des points de $a_i^q$ par une ligne $L$ située dans celui des $a_k^p$ auquel appartient à la fois $a_i^q$ et le point considéré de $b_j^m$.

L’ensemble de ces lignes $L$ engendrera une figure que j’appellerai $a_i^q b_j^m$, qui sera homéomorphe à une pyramide généralisée rectiligne et qui aura $p + m + 1 \le p$ dimensions.

Quelle sera la frontière de cette variété $a_i^q b_j^m$ ? Supposons que l’on ait les congruences [1]

$$ a_i^q \equiv \sum \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1}; \quad b_j^m \equiv \sum {\epsilon}_{jk}^{\prime m} b_k^{m-1}. $$

La frontière se composera des pyramides généralisées $a_h^{q-1} b_j^m$ [2] et $a_i^q b_k^{m-1}$, et l’on aura

$$\tag{7} a_i^q b_j^m \equiv \sum \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1} b_j^m + \sum {\epsilon}_{jk}^{\prime m} a_i^q b_k^{m-1}. $$

Cela ne serait plus vrai si l’on avait $m=0$. Dans ce cas, en effet, la variété $a_i^q$ aurait $q = (q + m + 1) - 1$ dimensions ; elle devrait donc faire partie de la frontière complète de $a_i^q b_j^m$, et la congruence (7) deviendrait  [3]

$$\tag{7 bis} a_i^q b_j^0 \equiv \sum \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1} b_j^0 - a_i^q $$

(les termes en $\epsilon'$ disparaissant) ; de même pour $q=0$ on aurait

$$\tag{7 ter} a_i^0 b_j^m \equiv \sum {\epsilon}_{jk}^{\prime m} a_i^0 b_k^{m-1} + b_j^m. $$

Des congruences (7), (7 bis) et (7 ter) se déduisent les homologies

$$\begin{eqnarray} \tag{8} \sum \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1} b_j^m \sim \; - & \sum {\epsilon}_{jk}^{\prime m} a_i^q b_k^{m-1}. \\ \tag{8 bis} a_i^q \sim \; \phantom{-} & \sum \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1} b_j^0, \\ \tag{8 ter} b_j^m \sim \; - & \sum {\epsilon}_{jk}^{\prime m} a_i^0 b_k^{m-1}. \end{eqnarray} $$

La congruence (8 bis) suppose que $a_i^q$ fasse partie de $a_j^p$ ; c’est celle que nous avons envisagée ailleurs (c, § X, p. 330, éq. (2)).

Supposons maintenant que nous ayons trouvé une congruence de la forme

$$\tag{9} \sum \lambda_{ij} a_i^q b_j^m \equiv 0. $$

Je dis que nous pourrons trouver une congruence de la même forme, mais où le nombre $q$ a augmenté d’une unité et le nombre $m$ diminué d’une unité, et cela de telle sorte que les premiers membres des deux congruences soient homologues.

En effet, nous avons identiquement en vertu de (7)

$$ \sum \lambda_{ij} a_i^q b_j^m \equiv \sum \lambda_{ij} \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1} b_j^m + \sum \lambda_{ij} {\epsilon}_{jk}^{\prime m} a_i^q b_k^{m-1}. $$

On doit donc avoir (en annulant dans le second membre le coefficient de $a_h^{q-1} b_j^m$)

$$ \sum_i \lambda_{ij} \epsilon_{ih}^q = 0. $$

On en déduit la congruence

$$\tag{10} \sum_i \lambda_{ij} a_i^q \equiv \sum_i \lambda_{ij} \epsilon_{ih}^q a_h^{q-1} \equiv 0. $$

Tous les éléments $a_i^q$ qui figurent dans le premier membre de (10) appartiennent à $a_j^{p-m}$ ; or $a_j^{p-m}$ par hypothèse est simplement connexe ; toute congruence entre ses éléments entraîne donc l’homologie correspondante de sorte que l’on a

$$ \sum_i \lambda_{ij} a_i^q \sim 0, $$

d’où

$$ \sum_i \lambda_{ij} a_i^q \equiv \sum_\rho \mu_{\rho j}a_\rho^{q+1}, $$

 [4] les $\mu$ étant des coefficients entiers et les $a_\rho^{q+1}$ étant des éléments appartenant à $a_j^{p-m}$.

Or

$$ \sum_\rho \mu_{\rho j}a_\rho^{q+1} \equiv \sum_{\rho i} \mu_{\rho j} \epsilon_{\rho i}^{q+1} a_i^q. $$

On a donc

$$ \lambda_i = \sum_\rho \mu_{\rho j} \epsilon_{\rho i}^{q+1}. $$

La congruence (9) peut alors s’écrire

$$ \sum \mu_{\rho i} \epsilon_{\rho i}^{q+1} a_i^q b_j^m \equiv 0 $$

(la sommation s’étend aux trois indices $\rho$, $i$, $j$).

Or nous pouvons former l’homologie suivante qui n’est autre que l’une des homologies (8) :

$$\tag{11} \sum \epsilon_{\rho i}^{q+1} a_i^q b_j^m \sim - \sum \epsilon_{jk}^{\prime m} a_{\rho}^{q+1} b_k^{m-1}. $$

On a alors [5]

$$ \sum \lambda_{ij} a_i^q b_j^m \sim - \sum \mu_{\rho j} \epsilon_{jk}^{\prime m} a_{\rho}^{q+1} b_k^{m-1}, $$

ce qui démontre le théorème énoncé.

Le cas $m=0$ est, bien entendu, laissé de côté et doit être traité à part. Dans ce cas, l’homologie (11) doit être remplacée par la suivante qui est l’une [6] des homologies (8 bis) :

$$\tag{11 bis} \sum \epsilon_{\rho i}^{q+1} a_i^q b_j^0 \sim a_{\rho}^{q+1}, $$

d’où

$$ \sum \lambda_{ij} a_i^q b_j^0 \sim \sum \mu_{\rho j} a_\rho^{q+1}. $$

Donc à la congruence

$$\tag{9 bis} \sum \lambda_{ij} a_i^q b_j^0 \equiv 0 $$

correspondra [7] la congruence

$$ \sum \mu_{\rho j} a_{\rho}^{q+1} \equiv 0 $$

qui est de la forme (1), et les premiers membres de ces deux congruences seront homologues.

Soit maintenant

$$\tag{2} \sum \lambda_j b_j^q \equiv 0 $$

une congruence de la forme (2) ; on aura par une homologie analogue à (8 ter)

$$ b_j^q \sim - \sum \epsilon_{jk}^{\prime q} a_i^0 b_k^{q-1}, $$

si $b_j^{p-1}$ est l’un des éléments de $P'$ auquel appartient $b_i^q$.

Nous avons donc l’homologie

$$ \sum \lambda_j b_j^q \sim - \sum \lambda_j \epsilon_{jk}^{\prime q} a_i^0 b_k^{q-1}, $$

de sorte qu’à notre congruence (2) correspondra une congruence

$$ \tag{12} - \sum \lambda_j \epsilon_{jk}^{\prime q} a_i^0 b_k^{q-1} \equiv 0 $$

dont le premier membre est homologue à celui de (2).

Si donc nous avons une congruence de la forme (2), nous en déduirons la congruence (12), qui est une congruence de la forme (9), où les nombres que nous appelions plus haut $q$ et $m$ ont respectivement pour valeurs $0$ et $q-1$. Nous en déduirons ensuite une autre congruence également de la forme (9), mais où ces deux nombres auront pour valeurs $1$ et $q-2$, et ainsi de suite ; on finira par arriver à une congruence de la forme (9 bis), c’est-à-dire à une congruence où ces deux nombres auront pour valeurs $q-1$ et $0$ ; et nous en déduirons alors finalement une congruence de la forme (1).

Les premiers membres de toutes ces congruences seront homologues entre eux.

Le théorème énoncé au début de ce paragraphe se trouve ainsi démontré.

Pour en tirer toutes les conséquences qu’il comporte, nous devons remarquer ceci : nous devons distinguer plusieurs sortes d’homologies. Soit $v_q$ une variété quelconque à $q$ dimensions faisant partie de notre variété $v$, et $v_{q-1}$ sa frontière complète, ce qui s’exprime par la congruence

$$ v_q \equiv v_{q-1}. $$

Nous en déduisons l’homologie

$$v_{q-1}\sim 0.$$

Les homologies ainsi obtenues sont les homologies fondamentales.

En combinant les homologies fondamentales par addition, soustraction et multiplication, on en obtient d’autres qui sont les homologies sans division. Enfin, en les combinant par addition, multiplication et division, on en obtient encore d’autres qui sont les homologies par division.

Eh bien, toutes les homologies que nous avons rencontrées dans ce paragraphe sont des homologies sans division.

Cela posé, revenons à nos tableaux $T_q$ et $T'_q$ et à leurs invariants, et en particulier à ceux de ces invariants qui ne sont égaux ni à $0$, ni à $1$, et que nous appellerons coefficients de torsion.

Supposons que nous ayons l’homologie suivante :

$$\begin{equation}\tag{13} \sum k \lambda_i a_i^q\sim 0, \end{equation}$$

où les $\lambda_i$ sont des entiers premiers entre eux ; que (13) soit une homologie sans division, mais que l’homologie

$$\tag{14} \sum \lambda_i a_i^q\sim 0, $$

ne puisse être obtenue que par division. D’après ce que nous avons vu dans l’un des paragraphes précédents, cela voudra dire que $k$ est l’un des coefficients de torsion du tableau $T_q$.

Nous aurons la congruence

$$\tag{14 bis} \sum \lambda_i a_i^q\equiv 0. $$

De (14 bis) nous pourrons, par le procédé de ce paragraphe, déduire une congruence entre les $b_i^q$ que j’écrirai

$$\tag{14 ter} \sum \mu_i b_i^q\equiv 0. $$

On aurait d’ailleurs, d’après le théorème que nous venons d’établir,

$$\sum \lambda_i a_i^q \sim \sum \mu_i b_i^q.$$

C’est là une homologie sans division, et l’on en déduirait immédiatement, également sans division,

$$\sum k\lambda_i a_i^q\sim \sum k\mu_i b_i^q.$$

De là on déduit que l’on a, sans division,

$$\sum k \mu_i b_i^q\sim 0,$$

et que l’on n’a pas, sans division,

$$\sum \mu_i b_i^q\sim 0,$$

sans quoi l’on aurait, sans division,

$$\sum \lambda_i a_i^q\sim 0,$$

ce qui est contraire à l’hypothèse.

Cela veut dire que $k$ est un coefficient de torsion du tableau $T_q'$.

Ainsi les coefficients de torsion des deux tableaux $T_q$ et $T_q'$ sont égaux (la démonstration est aisée à compléter), et, si l’on observe que les deux tableaux $T_q'$ et $T_{p-q}$ ont mêmes invariants, on conclura que les tableaux également distants des extrêmes ont mêmes coefficients de torsion [8].

On pourrait arriver au même résultat par une autre voie.

Nous avons vu dans un des Mémoires antérieurs (§ 16) définir l’opération que nous avons appelée l’annexion ; je suppose que deux éléments d’un polyèdre, par exemple $a_i^q$ et $a_j^q$, soient séparés l’un de l’autre par un élément $a_k^{q-1}$, que ce soit le seul élément à $q-1$ dimensions commun à $a_i^q$ et à $a_j^q$, et enfin que $a_k^{q-1}$ n’appartienne à aucun élément à $q$ dimensions en dehors de $a_i^q$ et de $a_j^q$ ; on aura donc $\epsilon_{ik}^q=1$, $\epsilon_{jk}^q=-1$ ; tous les autres $\epsilon_{hk}^q$ seront nuls quel que soit l’indice $h$, de même que tous les produits $\epsilon_{ih}^q\epsilon_{jh}^q$.

Dans ces conditions, on peut annexer l’un à l’autre les deux éléments $a_i^q$ et $a_j^q$ en supprimant l’élément $a_k^{q-1}$. Quel est l’effet de cette opération sur nos tableaux $T_q$ ? Le tableau $T_q$ perd une ligne et une colonne ; le tableau $T_{q-1}$ perd une ligne. L’un des invariants égaux à 1 de $T_q$ disparaît ; quant au tableau $T_{q-1}$, il perd un invariant s’il n’a pas plus de lignes que de colonnes ; dans ce cas, l’invariant qu’il perd est égal à zéro. Tous les autres invariants des deux tableaux ne changent pas ; ces deux tableaux conservent donc leurs coefficients de torsion. Or il est aisé de former un polyèdre dérivé à la fois de $P$ et de $P'$ ; on pourrait ensuite remonter ce polyèdre soit à $P$, soit à $P'$, par des annexions régulières. Comme ces annexions n’altèrent pas les coefficients de torsion, les tableaux $T_q$ et $T_q'$ doivent avoir les mêmes coefficients de torsion.