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> Textes originaux > Deuxième complément à l’Analysis Situs > §2. Réduction des tableaux Cette page présente la transcription d’une section des Œuvres Complètes de Poincaré. Vous pouvez retrouver nos commentaires par ici. §2. Réduction des tableaux |
Considérons un tableau $T$ formé de nombres entiers rangés en un certain nombre de lignes et de colonnes. Tels sont nos tableaux $T_q$.
Supposons que l’on puisse faire sur ce tableau les opérations suivantes :
- Ajouter une colonne à une autre ou l’en retrancher ;
- Permuter deux colonnes et changer le signe de l’une d’elles ;
- Faire les mêmes opérations sur les lignes.
En combinant ces opérations, on pourra faire subir aux colonnes une substitution linéaire quelconque pourvu que les coefficients soient entiers et le déterminant égal à $1$. De même pour les lignes.
Quel est, par le moyen de ces opérations, le plus grand degré de simplicité auquel on puisse réduire un tableau ? C’est ce que nous allons examiner.
Supposons d’abord, pour fixer les idées, que le tableau $T$ n’ait pas plus de lignes que de colonnes.
Soit
$$\left| \begin{array}{ccccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 \end{array}\right| $$
un tableau $T$ que je suppose, pour fixer les idées, de trois lignes et de cinq colonnes.
Je suppose que les quinze nombres $a$, $b$, $c$ soient premiers entre eux ; je dis qu’on pourra toujours trouver trois nombres $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$, tels que les cinq nombres
$$h_{1i} = \alpha_1 a_i +\beta_1 b_i +\gamma_1 c_i \qquad (i=1,\, 2,\, 3,\, 4, \, 5)$$
soient premiers entre eux.
Pour cela les nombres $\alpha_1$, $\beta_1$, $\gamma_1$ doivent d’abord remplir une première condition : ils doivent être premiers entre eux. Si cette condition est remplie, on pourra trouver six autres nombres $\alpha_2$, $\beta_2$, $\gamma_2$ ; $\alpha_3$, $\beta_3$, $\gamma_3$, tels que le déterminant
$$ \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{array}\right| =1.$$
Posons alors
$$h_{ki} = \alpha_k a_i +\beta_k b_i +\gamma_k c_i \qquad (i=1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5;\; k=1,\, 2,\, 3).$$
Soit
$$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{array}\right| ;$$
la règle de la multiplication des déterminants nous donnera
$$ \left| \begin{array}{ccc} h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} \end{array}\right| = \left| \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3 \end{array}\right| \cdot \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 &c_3 \end{array}\right| =\Delta.$$
Ce qui montre que le plus grand commun diviseur des trois nombres $h_{11}$, $h_{12}$, $h_{13}$ et, par conséquent, celui des cinq nombres $h_{1i}$, divise $\Delta$. Il doit diviser de même tous les déterminants obtenus en supprimant deux colonnes dans le tableau et, par conséquent, le plus grand commun diviseur, $M$, de tous ces déterminants.
Soit $p$ un facteur premier quelconque de $M$. Comme nos quinze nombres $a$, $b$, $c$ sont premiers entre eux, l’un d’eux au moins, par exemple $c_5$, ne sera pas divisible par $p$.
$$ \tag{1} \alpha_1 \equiv 0, \qquad \beta_1 \equiv 0, \qquad \gamma_1 \equiv c_5^{p-2} \qquad (\mathrm{mod}\, p), $$
il viendra
$$ h_{15} \equiv c_5^{p-1} \equiv 1 \qquad (\mathrm{mod}\, p), $$
de sorte que le plus grand commun diviseur des cinq nombres $h_{1i}$, ne sera pas divisible par $p$.
Nous obtiendrons un système de congruences analogues à (1) pour chacun des facteurs premiers de $M$. On pourra satisfaire à la fois à toutes ces congruences puisqu’elles ont lieu par rapport à des modules premiers différents.
Alors le plus grand commun diviseur des cinq nombres $h_{1i}$ ne sera divisible par aucun des facteurs premiers de $M$ ; et, comme il doit diviser $M$, il sera égal à $1$.
Si l’on fait subir aux lignes du tableau la substitution linéaire
$$ \begin{array}{ccc} \alpha_1 & \beta_1 & \gamma_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 & \gamma_2 \\ \alpha_3 & \beta_3 & \gamma_3, \end{array}$$
il est clair que les éléments de la $i^{\rm ième}$ colonne qui étaient
$$a_i, \quad b_i, \quad c_i$$
deviendront
$$h_{1i}, \quad h_{2i}, \quad h_{3i},$$
d’où cette conséquence : [1]
Si les éléments du tableau sont premiers entre eux, on peut réduire le tableau de telle sorte que les éléments de la première ligne soient premiers entre eux.
Si les éléments du tableau ont pour plus grand commun diviseur $\delta$, on peut réduire le tableau de telle sorte que les éléments [2] de la première ligne aient pour plus grand commun diviseur $\delta$.
Soit $m$ le nombre des colonnes et $n$ celui des lignes ($m\geq n$) ; soit $M_0$ le plus grand commun diviseur de tous les déterminants obtenus en supprimant dans le tableau $m-n$ colonnes quelconques ; soit $M_1$ le plus grand commun diviseur de tous les déterminants obtenus en supprimant dans le tableau $m-n+1$ colonnes et une ligne ; soit $M_2$ celui des déterminants obtenus en supprimant $m-n+2$ colonnes et deux lignes, etc. ; soit enfin $M_{n-1}$ celui des déterminants obtenus en supprimant $m-1$ colonnes et $n-1$ lignes, c’est-à-dire en d’autres termes celui de tous les éléments.
Ces nombres $M_0$, $M_1$, $\dots$, $M_{n-1}$ ne seront pas altérés par les opérations faites soit sur les lignes, soit sur les colonnes.
Il va sans dire que le nombre $M_k$ devrait être considéré comme nul si tous les déterminants correspondants étaient nuls.
Nous pourrons alors énoncer notre corollaire sous la forme suivante :
On peut réduire le tableau de telle sorte que le plus grand commun diviseur des éléments de la première ligne soit $M_{n-1}$.
On peut, par une transformation entre les colonnes, réduire le tableau de telle sorte que le premier élément de la première ligne devienne $M_{n-1}$, et que tous les autres éléments de la première ligne deviennent nuls.
Nous allons faire subir, en effet, aux colonnes (supposées comme plus haut au nombre de $m=5$) la substitution linéaire
$$ \tag{2} \left| \begin{array}{ccccc} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 & \alpha_5 \\ \beta_1 & \dots & \dots & \dots & \beta_5\\ \gamma_1 & \dots & \dots & \dots & \gamma_5 \\ \delta_1 & \dots & \dots & \dots & \delta_5 \\ \zeta_1 & \dots & \dots & \dots & \zeta_5 \end{array} \right|, $$
dont le déterminant doit être égal à $1$. Soient
$$a_1, \quad a_2, \quad a_3, \quad a_4, \quad a_5$$
les éléments de la première ligne. Après les réductions que le tableau a déjà subies, le plus grand commun diviseur de ces cinq nombres est devenu $M_{n-1}$. Nous pouvons alors choisir la substitution (2) de telle sorte que l’on ait
$$\sum \alpha_i a_i = M_{n-1}, \quad \sum \beta_i a_i = \sum \gamma_i a_i =\sum \delta_i a_i =\sum \zeta_i a_i=0.$$
Alors, après la transformation, les éléments de la première ligne seront
$$M_{n-1}, \quad 0, \quad 0, \quad 0, \quad 0.$$
Je dis maintenant qu’on peut, par une transformation entre les lignes, réduire à zéro tous les éléments de la première colonne, sauf le premier qui reste égal à $M_{n-1}$.
En effet, après les réductions déjà faites, les éléments de la première colonne (supposés au nombre de $n=3$) sont
$$M_{n-1}, \quad q_2M_{n-1}, \quad q_3 M_{n-1},$$
$q_2$ et $q_3$ étant des entiers ; et en effet, d’après nos hypothèses, tous nos éléments sont divisibles par $M_{n-1}$.
Si alors nous retranchons de la seconde ligne la première ligne multipliée par $q_2$, et de la troisième ligne la première ligne multipliée par $q_3$, la première colonne devient
$$M_{n-1}, \quad 0, \quad 0.$$
D’ailleurs la première ligne ne change pas.
Si l’on supprimait maintenant la première ligne et la première colonne du tableau $T$, il resterait un tableau $T'$ de $m-1$ colonnes et de $n-1$ lignes, par rapport auquel les nombres
$$ \frac{M_0}{M_{n-1}}, \; \frac{M_1}{M_{n-1}}, \; \dots $$
joueraient le même rôle que les nombres $M_0$, $M_1 \dots$, par rapport au tableau $T$.
En particulier, le plus grand commun diviseur des éléments de $T'$ est $\frac{M_{n-2}}{M_{n-1}}$.
Nous pouvons maintenant continuer la réduction, mais en opérant seulement sur les $m-1$ dernières colonnes et sur les $n-1$ dernières lignes. La première ligne ne changera plus puisque ses $m-1$ derniers éléments sont nuls, ni la première colonne non plus puisque ses $n-1$ derniers éléments sont nuls.
On pourra opérer sur le tableau $T'$ comme nous avons opéré sur le tableau $T$. Après cette nouvelle réduction :
- Tous les éléments de la première ligne et ceux de la première colonne sont restés nuls, sauf le premier élément de la première ligne et de la première colonne qui est resté égal à $M_{n-1}$.
- Tous les éléments de la seconde ligne et ceux de la seconde colonne sont devenus nuls, sauf le second élément de la seconde ligne et de la seconde colonne qui est devenu $\frac{M_{n-2}}{M_{n-1}}$.
- Si l’on supprime les deux premières lignes et les deux premières colonnes, on obtient un tableau $T''$ de $m-2$ colonnes et de $n-2$ lignes, par rapport auquel les nombres
$$\frac{M_0}{M_{n-2}}, \; \frac{M_1}{M_{n-2}}, \; \dots, \; \frac{M_{n-3}}{M_{n-2}}$$
jouent le même rôle que les nombres $M_0$, $M_1$ $\ldots$, $M_{n-1}$ par rapport au tableau $T$. Et ainsi de suite.
A la fin de la réduction, l’élément qui appartient à la $i^{\rm ième}$ ligne et à la $j^{\rm ième}$ colonne est nul si $i$ n’est pas égal à $j$ ; l’élément qui appartient à la $i^{\rm ième}$ ligne et à la $i^{\rm ième}$ colonne est égal à $\frac{M_{n-i}}{M_{n-i+1}}$.
$$ \tag{3} M_{n-1},\; \frac{M_{n-2}}{M_{n-1}},\; \frac{M_{n-3}}{M_{n-2}},\; \dots, \; \frac{M_{1}}{M_{2}}, \; \frac{M_{0}}{M_{1}} $$
peuvent s’appeler les invariants du tableau $T$.
On peut remarquer :
- Que chacun de ces invariants divise le suivant ;
- Que quelques-uns de ces invariants peuvent être nuls, mais que, si l’un d’eux l’est, tous ceux qui le suivent le sont également.
Si le tableau $T$ avait plus de lignes que de colonnes, la réduction se ferait de la même manière, seulement il faudrait intervertir le rôle des lignes et des colonnes.
On aurait alors $m < n$ ; le nombre $M_0$ serait le plus grand commun diviseur des déterminants obtenus en supprimant $n-m$ lignes ; en général, $M_i$, serait le plus grand commun diviseur des déterminants obtenus en supprimant $n-m+i$ lignes et $i$ colonnes quelconques. Enfin, le plus grand commun diviseur des éléments du tableau $T$ serait $M_{n-i}$.
En général, le nombre des invariants serait le plus petit des deux nombres $n$ et $m$.