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> Commentaires des textes originaux > Commentaires du deuxième complément > Commentaire sur le §2 du second complément (Réduction des tableaux) Nous présentons sur cette page nos commentaires sur une section des Œuvres Originales de Poincaré : le paragraphe que nous commentons est accessible par ici. Commentaire sur le §2 du second complément (Réduction des tableaux) |
Poincaré consacre le deuxième paragraphe du second complément à l’Analysis Situs à la preuve d’un théorème fondamental d’algèbre linéaire qui lui sera utile par la suite dans l’étude de la torsion en homologie.
$$ATB = \left( \begin{matrix} \begin{matrix} d_1 & & \\ & \ddots & \\ & & d_r \end{matrix} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)~.$$
De plus, les $d_i$ sont uniquement déterminés par le fait que $d_1 \ldots d_i$ est le pgcd des mineurs de $T$ de taille $i$.
Ce résultat est fondamental dans la classification des groupes abéliens de type fini. Poincaré ne semble pas savoir que le théorème a déjà été démontré en 1861 par le mathématicien anglais Henry John Stephen Smith [1]. La preuve donnée par Poincaré n’a d’ailleurs rien de très original : elle consiste à "transformer" $M$ par des opérations sur les lignes et les colonnes de façon a avoir $M_{1,1} = d_1$, puis à procéder par récurrence.
Poincaré note $M_{n-i}$ le pgcd des mineurs d’ordre $i$ de $T$ (en supposant $n\leq m$). Les entiers $d_1 = M_{n-1}, d_2 = \frac{M_{n-2}}{M_{n-1}} \ldots, d_r = \frac{M_{n-r}}{M_{n-r+1}}$ sont appelés par Poincaré "invariants" du tableau $T$.
[1] Smith, H. J. S. On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 151, 1861, 293—326.