Commentaires sur le §3 du second complément (Comparaison entre les tableaux $T_q$ et $T’_q$)

Dans le paragraphe 3, Poincaré utilise les résultats algébriques du paragraphe précédent pour expliquer clairement le rapport entre l’homologie rationnelle et l’homologie entière. L’homologie rationnelle ignore les invariants $d_i$ des tableaux $T_q$ qui sont les éléments de torsion. Cela permet à Poincaré de refaire un point sur la différence entre sa définition des nombres de Betti et celle utilisée par Heegaard dans son "contre-exemple" au théorème de dualité : cardinal de la plus petite famille génératrice versus cardinal de la plus grande famille libre (les deux définitions étant les mêmes pour l’homologie rationnelle, mais pas pour l’homologie entière, à cause de la présence d’éléments de torsion).

En termes modernes, la matrice d’incidence $T_q$ représente l’opérateur bord en restriction aux $q$-chaînes et on a $T_q T_{q+1}=0$. [1] Poincaré note $\alpha_q$ le nombre de $q$-faces du polyèdre $P$ (et donc la dimension du groupe des $q$-chaînes), $\gamma_q$ le rang de $T_q$ et $(\omega_i^{q})_{1\leq i \leq \gamma_q}$ les invariants de $T_q$. Le noyau de $T_q$ est donc un $\mathbb Z$-module libre de rang $\alpha_q-\gamma_q$ et l’image de $T_{q+1}$ en est un sous-$\mathbb Z$-module libre de rang $\gamma_{q+1}$. La forme normale de Smith permet de trouver une base $e_1, \ldots, e_{\alpha_q - \gamma_q}$ du noyau de $T_q$ telle que $\omega_1^{q+1} e_1, \ldots, \omega_{\gamma_{q+1}}^{q+1} e_{\gamma_{q+1}}$ est une base de l’image de $T_{q+1}$. On obtient alors

$$\mathrm{H}_q(P,\mathbb Z) \simeq \mathbb{Z}^{\alpha_q - \gamma_q - \gamma_{q+1}} \oplus \bigoplus_{i=1}^{\gamma_q} \mathbb{Z}/ \omega_i^{q+1} \mathbb{Z}~.$$

Lorsqu’on s’intéresse aux "homologies avec division", on obtient

$$\mathrm{H}_q(P,\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Q}^{\alpha_q - \gamma_q - \gamma_{q+1}}~.$$

Le $q$-ième nombre de Betti du polyèdre $P$ (noté $P_q$) est donc égal à $\alpha_q - \gamma_q - \gamma_{q+1} +1$ (avec la définition de Poincaré).

Par construction, le polyèdre $P'$ dual de $P$ possède $\beta_q = \alpha_{p-q}$ faces de dimension $q$. De plus, le tableau $T'_q$ est le transposé du tableau $T_{p-q+1}$. Il est donc de rang $\gamma_{p-q+1}$. On en déduit que

$$P'_q = P_{p-q}~.$$

Comme, par ailleurs, les nombres de Betti de $P$ et $P'$ sont les mêmes, Poincaré retrouve encore une fois son théorème de dualité.

Poincaré conclut ce paragraphe en définissant une variété sans torsion comme une variété telle que "les invariants de tous les tableaux sont égaux à $0$ ou $1$", c’est-à-dire dont tous les groupes d’homologie à coefficients entiers sont libres.