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> Commentaires des textes originaux > Commentaires du deuxième complément > Commentaires sur le §5 du deuxième complèment (Extension au cas général d’un (...) Nous présentons sur cette page nos commentaires sur une section des Œuvres Originales de Poincaré : le paragraphe que nous commentons est accessible par ici. Commentaires sur le §5 du deuxième complèment (Extension au cas général d’un théorème du premier complément) |
Le but de ce paragraphe est de préciser le théorème de dualité en prenant en compte la partie de torsion dans l’homologie entière.
Pour ce faire, Poincaré commence par revenir sur la preuve du résultat suivant :
C’est un cas particulier du théorème d’indépendance des groupes d’homologie par rapport à la décomposition polyédrale que Poincaré a déjà prouvé (maladroitement) dans le premier complément. Poincaré semble conscient du fait que sa preuve n’était pas tout-à-fait convaincante et en propose une nouvelle dans ce cas particulier. Son principal souci est sans doute de s’assurer que la preuve est valable pour l’homologie entière.
Poincaré en déduit ensuite le comportement des coefficients de torsion par dualité :
$\mathrm{Tor}\left(H_q(P,\mathbb{Z})\right) \simeq \mathrm{Tor}\left(H_{p-q-1}(P',\mathbb{Z})\right)~. $
En effet, la torsion de $H_q(P)$ est donnée par les invariants du tableau $T_{q+1}$, tandis que la torsion de $H_{p-q-1}(P')$ est donnée par les invariants du tableau $T'_{p-q}$ qui, par construction du polyèdre dual, est le transposé du tableau $T_{q+1}$ et possède donc les mêmes invariants.
Cette énoncé est non trivial à partir de la dimension $4$, pour laquelle il affirme que le $H_1$ et le $H_2$ ont la même torsion. On verra par ailleurs au paragraphe suivant que, dans une variété orientable de dimension 4, le $H_3$ est toujours sans torsion.