Commentaires sur le §6 du deuxième complément (Torsion intérieure des variétés)

Dans le sixième et dernier paragraphe du second complément à l’Analysis Situs, Poincaré donne une condition suffisante sur un polyèdre $P$ pour que ses groupes d’homologie entière ne contiennent pas de torsion.

Rappelons que, dans la terminologie introduite par Poincaré, une variété est appelée bilatère si elle est orientable et unilatère si elle n’est pas orientable. L’exemple type de variété unilatère est la bande de Moebius.

Poincaré montre alors le théorème suivant :

Ce théorème jusifie la terminologie de "torsion" : on ne peut avoir de torsion dans l’homologie entière que si la variété contient une bande de Moebius généralisée. Remarquons que le théorème n’est pas une équivalence : il n’est pas difficile de construire une décomposition polyédrale d’une boule qui contienne une bande de Moebius. En revanche nous ne connaissons pas la réponse à la question suivante :

Notons enfin que le théorème admet le corollaire suivant :

A la fin du second complément, Poincaré annonce sans démonstration le résultat suivant : si un polyèdre $P$ a les mêmes nombres de Betti qu’une sphère de dimension $p$ et que tous ses tableaux d’incidence $T_q$ sont bilatères, alors $P$ est homéomorphe à la sphère de dimension $p$.

L’hypothèse implique que $P$ est une sphère d’homologie entière, mais elle est a priori plus forte. Il est vraisemblable que Poincaré aie en tête le résultat "toute sphère d’homologie entière est homéomorphe à une sphère", ce qui est bien sûr faux : il en donnera lui-même un contre-exemple dans le cinquième complément.

L’énoncé plus restrictif donné ici est également faux, bien que plus subtil. La décomposition polyédrale de la variété dodécaédrique de Poincaré obtenue par recollement des faces d’un dodécaèdre, par exemple, contient une bande de Moebius. En revanche, la décomposition cellulaire associée au diagramme de Heegaard décrit ici a un 2-squelette orientable.