Commentaires sur le §1 du cinquième complément

Ce premier paragraphe est une introduction au Cinquième complément à l’Analysis Situs. Ce cinquième complément parait presque dix ans après le mémoire original, fondateur de la topologie algébrique moderne. Citons Poincaré :

Je reviens encore aujourd’hui sur cette même question, persuadé qu’on n’en pourra venir à bout que par des efforts répétés et qu’elle est assez importante pour les mériter.

Le cinquième complément est consacré à l’étude des variétés de dimension 2 et 3. La méthode utilisée --- méthode que l’on appelle maintenant théorie de Morse --- est cependant, comme le fait remarquer Poincaré,

sans doute d’un usage plus général.

Mais Poincaré a ici un but précis. Dans le second complément il a en effet montré que

pour caractériser une variété il ne suffit pas de connaître ses nombres de Betti, mais que certains coefficients [...] de torsion jouent un rôle important.

En d’autres termes les groupes d’homologie d’une variété ont une partie libre et une partie de torsion qu’il faut toutes deux considérer.

On pourrait alors se demander si ...

une variété $V$ [1] dont tous les groupes d’homologie sont ceux de l’hypersphère $\mathbb{S}^3$ lui est nécessairement homéomorphe.

Ici Poincaré semble oublier [2] qu’il a pourtant conclu le deuxième complément en affirmant (sans démontration) que :

Tout polyèdre qui a tous ses nombres de Betti égaux à 1 et tous ses tableaux bilatères est simplement connexe, c’est-à-dire homéomorphe à l’hypersphère.

Autrement dit [3], « toute sphère d’homologie entière (c’est-à-dire toute variété dont les groupes d’homologies à coefficients entiers sont triviaux) est homéomorphe à $\mathbb{S}^3$ ». Or justement, Poincaré annonce maintenant le contraire :

Nous pouvons maintenant répondre à ces questions ; j’ai formé, en effet, un exemple d’une variété dont tous les nombres de Betti et les coefficients de torsion sont égaux à $1$, et qui pourtant n’est pas simplement connexe.

Le but de ce cinquième complément est de fournir les outils nécessaires à la construction de cette sphère d’homologie entière qui n’est pas simplement connexe. Et cette introduction est le faire-part de naissance de la célèbre sphère d’homologie de Poincaré ou variété dodécaédrique de Poincaré qui par ses multiples incarnations n’a cessé depuis d’émerveiller les topologues.