§1. Introduction

Les beaux travaux de M. Picard sur les Surfaces algébriques ont mis depuis longtemps en évidence l’importance de la notion des cycles à une, deux ou trois dimensions. J’ai pensé qu’on pourrait appliquer à cette question les principes que j’ai exposés dans l’Analysis situs et ses deux premiers compléments (Journal de l’École Polytechnique, tome du centenaire ; Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XII ; Proceedings of the London Mathematical Society, vol. XXXII) et j’ai obtenu ainsi certains résultats partiels que j’ai déjà énoncés dans une Note aux Comptes rendus et qui viennent compléter, sur certains points, ceux de M. Picard.

Je rappelle qu’étant donné une variété $V$ fermée à $p$ dimensions, je trace sur cette variété d’autres variétés, fermées ou non, d’un moins grand nombre de dimensions ; je désigne par $W_q$ une variété à $q$ dimensions tracée de la sorte sur $V$.

Si $\sum W_q$ est un ensemble de variétés à $q$ dimensions et $\sum W_{q-1}$ un ensemble de variétés à $q-1$ dimensions, la congruence

$$ \sum W_q \equiv \sum W_{q-1}$$

signifie (par définition) que $\sum W_{q-1}$ forme la frontière complète de l’ensemble de variétés $\sum W_q$. J’exprime le même fait sans mettre en évidence $\sum W_q$ en écrivant la relation

$$ \sum W_{q-1} \sim 0$$

que j’appelle une homologie.

Alors la congruence

$$ \sum W_q \equiv 0$$

signifiera que la variété $\sum W_q$ est fermée.

Si l’on a $\sum W_q \equiv 0$ sans avoir $\sum W_q \sim 0$ (ou $n\sum W_q \sim 0$, $n$ étant entier), je dirai que la variété $\sum W_q$ constitue un cycle à $q$ dimensions.

Soit

$$ \tag{1} f(x,y,z) = 0 $$

l’équation d’une surface algébrique quelconque, qui définira une variété $V$ à quatre dimensions. A chaque valeur de $y$ correspondra une surface de Riemann qui sera en général de genre $p$. Je supposerai que le genre ne s’abaisse ni pour $y = 0$ ni pour $y = \infty$, mais qu’il s’abaisse pour $q$ points singuliers

$$ y = A_1, \qquad y = A_2, \qquad y = A_q.$$

Dans le plan des $y$, je tracerai $q$ coupures $OA_1$, $OA_2, \ldots, OA_q$. Soit $S$ l’une des surfaces de Riemann ; quand $y$ variera sans franchir les coupures, la surface $S$ variera, mais en restant homéomorphe à elle-même de façon que les diverses surfaces de Riemann se correspondent point par point et d’une manière biunivoque et continue.

L’une quelconque $S$ de ces surfaces pourra être subdivisée en un polyèdre $P$ ; soient $F$ les faces, $B$ les arêtes, $C$ les sommets de ce polyèdre. Une autre surface $S'$, correspondant point par point à la surface $S$, se trouvera de même subdivisée en un polyèdre $P'$ dont les faces, les arêtes et les sommets, correspondront aux faces, aux arêtes et aux sommets du polyèdre $P$.

Supposons maintenant que $y$, partant d’un point situé infiniment près de l’une des coupures, décrive un contour presque fermé et aboutisse à un autre point situé infiniment près du point initial, mais de l’autre côté de la coupure. La surface $S$ se sera transformée en une surface infiniment peu différente ; mais à un point de la première surface correspondra, en général, un point de la seconde surface qui en diffèrera beaucoup.

Le polyèdre $P$ se sera ainsi transformé en un polyèdre $P'$ très différent.

D’un autre côté, aux différents points du plan des $y$ découpé par nos coupures, nous pouvons faire correspondre les points d’un polygone $Q$ à $2q$ côtés $\alpha_i \beta_i$ et $\alpha_i \beta_{i+1}$, les côtés $\alpha_i \beta_i$ et $\alpha_i \beta_{i+1}$ correspondant aux deux lèvres de la coupure $OA_i$, le point $\alpha_i$ à $A_i$, les points $\beta_i$ et $\beta_{i+1}$ à $O$. Inutile d’ajouter que j’écrirai indifféremment $\beta_1$ ou $\beta_{q+1}$, $\beta_2$ ou $\beta_{q+2}$, etc., de façon à conserver la symétrie des notations.

Nous allons tirer de là une subdivision de la variété $V$ en un polyèdre $H$ à quatre dimensions.

A chaque face $F_i$ de $P$ correspondra une hypercase de $R$ que j’appellerai aussi $F_i$. A chaque arête $B_i$ de $P$ correspondra une case $B_i$ de $H$ ; de même à chacun des côtés $\alpha_i \beta_i$ ou $\alpha_i \beta_{i+1}$ de $Q$ combiné avec chacune des faces $F_k$ de $P$ correspondra une case $\alpha_i \beta_i F_k$ ou $\alpha_i \beta_{i+1} F_k$ de $H$.

A chaque sommet $C_i$ de $P$ correspond une face $C_i$ de $H$. A chaque sommet $\alpha_i$ ou $\beta_i$ de $Q$, combiné avec chacune des faces $F_k$ de $P$, correspondra une face $\alpha_iF_k$ ou $\beta_i F_k$ de $H$. A chaque côté $\alpha_i\beta_i$ ou $\alpha_i\beta_{i+1}$ de $Q$, combiné avec chacune des arêtes $B_k$ de $P$, correspondra une face $\alpha_i\beta_iB_k$ ou $\alpha_i\beta_{i+1}B_k$ de $H$.

A chaque sommet $C_k$ de $P$ combiné avec chacun des côtés $\alpha_i \beta_i$ ou $\alpha_i \beta_{i+1}$ de $H$ correspondra une arête $\alpha_i\beta_iC_k$ ou $\alpha_i\beta_{i+1}C_k$ de $H$. A chaque sommet $\alpha_i$ ou $\beta_i$ de $Q$ combiné avec chacune des arêtes $B_k$ de $P$ correspondra une arête $\alpha_i B_k$ ou $\beta_i B_k$ de $H$.

Enfin, à chaque sommet $\alpha_i$ ou $\beta_i$ de $Q$ combiné avec chacun des sommets $C_k$ de $P$ correspondra un sommet $\alpha_i C_k$ ou $\beta_i C_k$ de $H$.

Mais il convient de faire plusieurs observations. D’abord pour $y = A_i$, le polyèdre $P$ dégénère de telle façon que certaines de ses faces disparaissent ; si, par exemple, la face $F_k$ disparaît pour $y = A_i$, la face correspondante $\alpha_i F_k$ du polyèdre $H$ n’existera pas.

De même, bien que cela puisse être évité, on pourrait concevoir qu’une arête $B_k$ disparût pour $y = A_i$ ; dans ce cas, l’arête $\alpha_i B_k$ n’existerait pas.

D’un autre côté, donnons à $i$ une valeur déterminée et faisons prendre à l’indice $k$ toutes les valeurs possibles ; envisageons ensuite, d’une part l’ensemble des cases $\alpha_i \beta_i F_k$ et, d’autre part, l’ensemble des cases $\alpha_i \beta_{i+1} F_k$.

Ces deux ensembles seront identiques, bien qu’en général la case $\alpha_i \beta_i F_k$ considérée à part ne soit pas identique à la case $\alpha_i \beta_{i+1} F_k$, ni même à une autre case $\alpha_i \beta_{i+1} F_l$.

Il pourra se faire aussi que certaines des faces $\alpha_i \beta_i B$ soient identiques à certaines des faces $\alpha_i \beta_{i+1} B$, ou certaines des arêtes $\alpha_i \beta_i C$ à certaines des arêtes $\alpha_i \beta_{i+1} C$.

D’autre part, comparons les différentes faces $\beta_i F_k$ ; la surface de Riemann $S_0$ qui correspond au point $O$ se trouvera subdivisée en polyèdre de $q$ manières différentes, suivant que l’on considère le point $O$ comme correspondant au sommet $\beta_1$, ou à $\beta_2, \ldots,$ ou à $\beta_q$. Ce sont ces $q$ modes de subdivision qui engendrent les faces $\beta F$. Si donc $m$ est le nombre des faces de $P$, on aura les identités

$$ \tag{2} \begin{array}{c} \beta_i F_1 + \beta_i F_2 + \cdots + \beta_i F_m = \beta_j F_1 + \beta_j F_2 + \cdots + \beta_j F_m\\ (i, j = 1, 2, \ldots, q). \end{array} $$

Il pourra se faire que certaines des faces $\beta F$ soient identiques entre elles. Mais cela n’arrivera pas toujours. Il pourra arriver également que certaines des arêtes $\beta B$, ou certains des sommets $\beta C$ soient identiques.

Enfin, par suite de la dégénérescence de $P$ pour $y = A_i$, il pourra se faire que certaines des faces $\alpha_i F$, ou des arêtes $\alpha_i B$, ou des sommets $\alpha_i C$ soient identiques.

En résumé, nos variétés partielles, hypercases, cases, arêtes ou sommets peuvent se répartir en quatre catégories conformément au tableau suivant :

Il ne peut y avoir identité entre deux variétés de catégorie différente. Deux variétés de la catégorie $1$ sont toujours distinctes.

Entre deux variétés de catégorie $\alpha\beta$, il ne peut y avoir identité que si l’indice $i$ de $\alpha$ est le même (sans quoi les valeurs correspondantes de $y$ seraient sur deux coupures $OA_i$, $OA_j$ différentes , l’indice de $\beta$ devra, au contraire, être différent ; il peut y avoir identité, par exemple entre $\alpha_i \beta_i F_k$ et $\alpha_i \beta_{i+1} F_k$ mais pas entre $\alpha_i \beta_i F_k$ et $\alpha_i \beta_i F_k$. Deux variétés de la catégorie $\alpha$ ne pourront être identiques que si l’indice de $\alpha$ est le même.

Avant d’aller plus loin, nous allons modifier un peu nos conventions, afin d’éviter les inconvénients qui pourraient résulter des identités telles que (2) qui ont lieu entre deux sommes de faces, bien que les faces prises individuellement ne soient pas identiques deux à deux.

Soit $M$ un point quelconque de la coupure $OA_i$, la surface de Riemann $S$ correspondante pourra être décomposée de deux manières en polyèdre, selon que l’on envisagera le point $M$ comme appartenant à l’une ou à l’autre des deux lèvres de la coupure. Superposons les deux modes de subdivision, en considérant à la fois les arêtes provenant de l’un et de l’autre mode. Nous obtiendrons ainsi un certain polyèdre que j’appellerai $P'$ ; on peut s’arranger pour qu’il reste homéomorphe à lui-même quand le point $M$ décrira toute la coupure $OA_i$ (vide infra).

J’appellerai $F'_k$, $B'_k$, $C'_k$ les faces, arêtes et sommets de $P'$. Chacune des faces $F$ du premier mode de subdivision se décomposera en un certain nombre de faces $F'$, et il en sera de même de chacune des faces $F$ du second mode ; de sorte que chaque face $F'$ appartiendra à l’une des faces $F$ du premier mode, et à une seule, et à une des faces $F$ du second mode, et à une seule.

Chacune des arêtes $B$ de chacun des deux modes de subdivision se décomposera en un certain nombre d’arêtes $B'$. Chaque arête $B'$ appartiendra au moins à l’une des arêtes $B$ de l’un des deux modes, et peut-être à une arête de chaque mode ; mais, dans aucun cas, elle n’appartiendra à deux arêtes différentes du même mode.

Enfin, les sommets $C'$ seront les sommets $C$ des deux modes, auxquels il il faut adjoindre les points d’intersection des arêtes du premier mode avec celles du second.

De même, nous avons vu que la surface $S_0$ qui correspond au point $O$ se trouve décomposée en polyèdre de $q$ manières différentes. Superposons les $q$ modes de subdivision ; nous obtiendrons un polyèdre $P''$ dont les faces, les arêtes et les sommets s’appeleront $F_k''$, $B_k''$, $C_k''$. Chacune des faces $F$ correspondra à l’un des $q$ modes, de même que chacune des faces $F'$ correspondant au polyèdre $P_i'$, que l’on obtient en regardant le point $O$ comme appartenant à la coupure $OA_i$, se trouvera décomposée en un certain nombre de faces $F''$. Chaque face $F''$ appartiendra à l’une des faces $F'$ du polyèdre $P'_i$, et à une seule ; à l’une des faces $F$ de chacun des $q$ modes de subdivision, et à une seule.

Chacune des arêtes $B$ des $q$ modes, chacune des arêtes $B'$ des divers polyèdres $P'_i$ se décomposera en un certain nombre d’arêtes $B''$. Chaque arête $B''$ appartiendra à l’une des arêtes $B$ de l’un des $q$ modes, et à l’une des arêtes $B'$ de l’un des polyèdres $P'_i$ ; elle pourra appartenir à la fois à deux arêtes de deux modes différents, ou à deux arêtes $B'$ de deux polyèdres $P'$ différents, mais pas à deux arêtes $B$ du même mode ou à deux arêtes $B'$ du même polyèdre.

Les sommets $C''$ se composeront des sommets des $q$ modes auxquels il faut adjoindre les points d’intersection des arêtes $B$ appartenant à des modes différents.

Rien à changer en ce qui concerne les variétés de la catégorie $1$ ; passons à la catégorie $\alpha \beta$. Chacune des cases $\alpha_i \beta_i F_k$ ou $\alpha_i \beta_{i+1} F_k$ va se trouver décomposée en cases partielles $\alpha_i \beta_i\alpha_i F'_k$, $\alpha_i \beta_{i+1} F'_k$ ; de même, chacune des faces $\alpha \beta B$ sera décomposée en faces $\alpha \beta B'$. Aux arêtes $\alpha \beta C$ viendront s’adjoindre d’autres arêtes correspondant, comme nous l’avons vu plus haut, aux intersections de deux arêtes $B$ appartenant à des modes différents. L’ensemble de ces arêtes constituera ce que j’appellerai les arêtes $\alpha \beta C'$.

On voit que les cases $\alpha_i \beta_i F'_k$ sont identiques aux cases $\alpha_i \beta_{i+1} F'_k$ ; de même pour les faces $\alpha_i \beta_i F'_k$ et $\alpha_i \beta_{i+1} B'_k$ et pour les arêtes $\alpha_i \beta_i C'_k$ et $\alpha_i \beta_{i+1} C'_k$. Mais il importe de remarquer que la case $\alpha_i \beta_i F_k$ se décompose en cases partielles $\alpha_i \beta_i F'$, qui ne sont pas les mêmes, en général, que les cases partielles dans lesquelles se décompose la case $\alpha_i \beta_{i+1} F_k$. La même observation s’applique aux faces $\alpha_i \beta_i B_k$ et $\alpha_i \beta_{i+1} B_k$.

Passons à la catégorie $\alpha$. Quand le point $M$ vient en $A_i$, les deux modes de décomposition de la surface $S$ en polyèdre $P$ se confondent ; d’autre part, ce polyèdre dégénère, comme je l’ai dit, de sorte que certaines des variétés $\alpha_i F'_k$, $\alpha_i B_k'$, $\alpha_i C_k'$ pourront disparaître et que certaines pourront se confondre.

Passons à la catégorie $\beta$. Nous allons avoir des variétés partielles $\beta_i F_k''$, $\beta_i B_k''$, $\beta_i C_k''$.

Les faces $\beta_1 F_k''$, $\beta_2 F_k'', \ldots, \beta_q F_k''$ seront identiques ; mais la face $\beta_1 F_k$ se décompose en faces partielles $\beta F''$, qui ne sont pas les mêmes, en général, que celles dans lesquelles se décomposent la face $\beta_2 F_k$, ou la face $\beta_3 F_k$, etc. Même observation pour les arêtes.

Cela posé, je fais d’abord la remarque suivante :

Une variété de la catégorie $\alpha$ sera toujours homologue à une somme de variétés appartenant à d’autres catégories.

Soit, par exemple, la face $\alpha_i F'_k$ ; elle appartient à la case $\alpha_i \beta_i F_k'$ qui admet, en outre, la face $\beta_i F'_k$ et celles des faces $\alpha_i \beta_i B'_k$, qui correspondent à des arêtes $B'_k$ appartenant à la face $F'_k$ du polyèdre $P'$. Si donc on a la congruence (pour ce polyèdre $P'$)

$$ F'_k \equiv \sum \epsilon_q B'_q,$$

les $\epsilon_q$ étant des nombres égaux à $+1$, $-1$ ou $0$, on aura la congruence

$$ \alpha_i \beta_i F'_k \equiv \alpha_i F'_k - \beta_i F'_k + \sum \epsilon_q \alpha_i \beta_i B'_q$$

et, par conséquent, l’homologie

$$ \alpha_i F_k' \sim \beta_i F_k' - \sum \epsilon_q \alpha_i \beta_i B'_q.$$

Les variétés qui figurent dans le second membre de cette homologie appartenant aux catégories $\beta$ et $\alpha \beta$, le théorème est démontré, et on l’établirait de même pour $\alpha_i B'_k$ et $\alpha_i C'_k$.