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On s’intéresse ici au rapport entre l’homologie d’un produit $X\times Y$ d’espaces et l’homologie de $X$ et $Y$. Intuitivement, comme un produit de sous-variétés compactes, orientées, sans bord est une sous-variété compacte, sans bord, orientée, on s’attend à ce que l’homologie contienne le produit tensoriel des homologies. C’est effectivement le cas, et, de manière plus générale les chaînes sur $X\times Y$ sont (quasi-)isomorphes au produit tensoriel des chaînes sur $X$ et $Y$. En passant à l’homologie, on doit modifier cette relation par des foncteurs $\mathop{Tor}$. On retrouve un phénomène que l’on déjà vu plusieurs fois : les considérations géométriques s’expriment plus fidèlement au niveau des chaînes et se propagent (et sont modifiés) au niveau de l’homologie par des arguments généraux d’algèbre homologique.
Produit $\times$
Notons d’abord que l’on a un isomorphisme linéaire canonique
$$ AW_0: C_0(X\times Y)=\mathbb{Z}\langle X\times Y\rangle \stackrel{\cong}\longrightarrow \mathbb{Z}\langle X\rangle \otimes \mathbb{Z}\langle Y\rangle = C_0(X)\otimes C_0(Y) $$
qui envoie un $0$-simplexe $\{(x,y)\}\in X\times Y$ sur $\{x\}\otimes \{y\}$.
Le résultat suivant est important.
Il existe un morphisme de complexes fonctoriel
$$C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(Y)\stackrel{\times} \to C_\bullet(X\times Y)$$
dont la restriction en degré $0$ est précisément le morphisme canonique $AW_{0}^{-1}$. De plus, deux tels morphismes de complexes fonctoriels sont homotopes [1]. Il existe un morphisme de complexes fonctoriel
$$C_\bullet(X \times Y)\stackrel{AW_\bullet} \to C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(Y)$$
dont la restriction en degré $0$ est précisément le morphisme canonique $AW_{0}$. De plus, deux tels morphismes de complexes fonctoriels sont homotopes. Les compositions
$$AW_\bullet\circ \times \quad \mbox{et} \quad \times \circ AW_\bullet$$
sont homotopes à l’identité. En particulier,
$$C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(Y)\stackrel{\times} \to C_\bullet(X\times Y)$$
est un quasi-isomorphisme.
On appelle $\times$ le cross-produit. Il est fonctoriel par définition.
Rappelons que la fonctorialité signifie que si $f:X\to X'$ et $g:Y\to Y'$ sont des applications continues, alors, le diagramme suivant est commutatif :
$$ \xymatrix{ C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(Y) \ar[r]^{\times} \ar[d]_{f_*\otimes g_*} & C_\bullet(X\times Y)\ar[d]^{(f\times g)_*} \\ C_\bullet(X')\otimes C_\bullet(Y') \ar[r]^{\times} & C_\bullet(X'\times Y').}$$
Esquisse de démonstration. On démontre classiquement ceci en utilisant la méthode des modèles acycliques (que nous avons déjà entre-aperçue ici dans la démonstration de l’invariance par homotopie de l’homologie singulière). Par exemple, regardons le cas de $AW_\bullet$.
On raisonne par récurrence pour construire $AW_\bullet$ puisqu’on connait déjà sa valeur en degré $0$ (et qu’elle vérifie bien toutes les propriétés demandées).
Premièrement, par fonctorialité, il suffit, pour tout $n$ de démontrer le résultat en degré $n$ pour
$$X=Y=\Delta^n$$
le $n$-simplexe standard. En effet, pour tout $n$-simplexe $\sigma: \Delta^n \to X\times Y$, en notant par
$$\pi_X: X\times Y\to X , \quad \pi_Y: X\times Y\to Y$$
les projections canoniques et par
$$\mathrm{diag}: \Delta^n \to \Delta^n \times \Delta^n\in C_n(\Delta^n\times \Delta^n)$$
la diagonale, on doit avoir :
$$AW_\bullet(\sigma)= AW_\bullet \circ \big(\pi_X\circ \sigma \times \pi_Y\circ \sigma)_*(\mathrm{diag}) = (\pi_X\circ \sigma)_* \otimes (\pi_Y\circ \sigma)_* \big(AW_\bullet(\mathrm{diag})).$$
On est donc ramené à démontrer le résultat pour les applications diagonales entre simplexes.
Deuxièmement, comme $AW_\bullet$ doit être un morphisme de complexe, on doit avoir :
$$d (AW_\bullet (\mathrm{diag})) = AW_\bullet (d(\mathrm{diag}))$$
où le terme $d(\mathrm{diag})$ est dans $C_{n-1}(\Delta^{n-1})$ ; en particulier, le terme de droite est bien défini par hypothèse de récurrence.
On cherche maintenant à établir l’existence de celui de gauche. On peut vérifier, en appliquant l’hypothèse de récurrence, que $AW_\bullet (d(\mathrm{diag}))$ est un cycle. Comme $\Delta^{n-1}$ est contractile, il s’en suit que c’est un bord et il existe donc $ (AW_\bullet (\mathrm{diag}))$ vérifiant l’équation. Ceci construit le morphisme de complexes $AW_\bullet$ (dont on a déjà forcé la fonctorialité).
On obtient de même $\times$ en considérant l’application
$$(\Delta^p \stackrel{id}\to \Delta^p) \otimes (\Delta^{n-p} \stackrel{id}\to \Delta^{n-p}) \in C_\bullet(\Delta^p)\times C_\bullet (\Delta^{n-p})$$
à la place de l’application $\mathrm{diag}$.
Les relations d’homotopie sont elles aussi démontrées de la même façon... En d’autres termes, on a utilisé qu’on avait une famille contractile d’objets à partir desquels tous nos simplexes singuliers sont définis.
C.Q.F.D.
Formule de Künneth
Il est immédiat qu’un produit tensoriel $c\otimes c'$ de cycles est un cycle et que le produit tensoriel d’un bord et d’un cycle est un bord. Il s’en suit que l’on a une application induite
$$H_i(X)\otimes H_j(Y)\to H_{i+j}(C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(Y)) \stackrel{\times}\to H_{i+j}(X\times Y)$$
également appelée le cross-produit. On sait que la flèche de droite est un isomorphisme d’après la proposition précédente. En revanche celle de gauche ne l’est pas en général : son conoyau se calcule en termes de foncteur $\mathop{Tor}$.
Soient $X$, $Y$ des espaces topologiques.
On a des suites exactes courtes scindées (non-naturellement) :
$$0\to \bigoplus_{i+j=n} H_i(X)\otimes H_j(Y) \to H_{n}(X\times Y) \to \bigoplus_{k+\ell = n-1} \mathop{Tor}(H_k(X), H_{\ell}(Y))\to 0.$$
On a la même suite exacte pour l’homologie à coefficients dans tout anneau principal. En particulier, si $ \mathbf{F}$ est un corps, le morphisme naturel
$$\bigoplus_{i+j=n} H_i(X, \mathbf{F})\otimes H_j(Y, \mathbf{F})\to H_{n}(X\times Y, \mathbf{F})$$
est un isomorphisme.
On dispose également d’un cross-produit en cohomologie induit par dualité à partir de la proposition ci-dessus. Il est défini par la formule :
$$ C^i(X)\otimes C^j(Y) \to \mathrm{Hom}(C_{i}(X)\otimes C_{j}(Y), \mathbb{Z}) \stackrel{(AW_{\bullet})^*}\longrightarrow C^{i+j}(X \times Y) $$
où la flèche de gauche est l’application qui envoie $c\otimes c'$ sur l’application
$$\sigma\otimes \sigma' \mapsto (-1)^{ij} c(\sigma)c'(\sigma').$$
Ce cross-produit est encore défini pour les cochaînes à coefficient dans n’importe quel anneau.
Puisque toutes les flèches dans la formule sont des morphismes de complexes, on a :
Le cross-produit $ C^i(X)\otimes C^j(Y) \to C^{i+j}(X\times Y)$ est un morphisme de complexes de chaînes. En particulier il induit un cross produit en cohomologie :
$$H^{i}(X)\otimes H^{j}(Y)\to H^{i+j}(X \times Y).$$
On peut trouver des formules explicites pour $\times$ et $AW_\bullet$. En particulier, on peut vérifier [2] qu’une construction possible pour $AW_\bullet$ (due à Alexander-Whitney) est précisément :
$$AW(\sigma) = \sum_{i=0}^n (-1)^{i(n-i)}(\pi_X)_*\circ \sigma_{-}\otimes (\pi_Y)_*\circ \sigma_{+}$$
où $\sigma_{-}$, $\sigma_{+}$ sont définis comme dans l’article sur le cup-produit.
On en déduit :
Le cup-produit au niveau des cochaînes est la composition
$$ C^i(X)\otimes C^j(X) \to \mathrm{Hom}(C_{i}(X)\otimes C_{j}(X), \mathbb{Z}) \stackrel{(AW_{\bullet})^*}\longrightarrow C^{i+j}(X \times X) \stackrel{\mathrm{diag}^*}\longrightarrow C^{i+j}(X).$$
Autrement dit on a, pour $c, c'\in C^\bullet(X)$, la formule :
$$c \cup c' = \Delta_X^* ( c \times c').$$
En passant en cohomologie, on obtient que, étant donné deux classes de cohomologie $\alpha \in H^i (X)$ et $\beta \in H^j (X)$, on a :
$$\alpha \cup \beta = \Delta_X^* (\alpha\times \beta).$$
De là (et de la naturalité de ces produits) il découle que l’on a le lemme suivant — qui peut aussi servir de définition du produit $\times$ :
Soient $\alpha \in H^i (X)$ et $\beta \in H^j (Y)$. On a :
$$\alpha \times \beta = (\pi_X^* \alpha) \cup (\pi_Y^* \beta) \in H^{i+j} (X \times Y),$$
où $p_X : X\times Y \to X$ est la projection sur le premier facteur et $p_Y : X \times Y \to Y$ la projection sur le deuxième facteur.
La fonctorialité du cross produit et du cup-produit et les deux lemmes précédents donnent la proposition suivante dont la preuve est laissée en exercice.
Le cross produit $H^\bullet(X)\otimes H^\bullet(Y)\to H^{\bullet}(X\times Y)$ est un morphisme d’algèbres.
Sous des hypothèses de finitude, on a un isomorphisme de Künneth en cohomologie, voir ici.
[1] i.e. si $\phi, \psi$ sont deux tels morphismes, il existe
$$h: C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(Y)\stackrel{\times} \to C_{\bullet+1}(X\times Y)$$
tel que $\phi-\psi= d\circ h +\pm h\circ d$ et l’homotopie est elle-même fonctorielle
[2] Cette vérification est essentiellement équivalente à la preuve du lemme (Dérivation).