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> Homologie > Cohomologie > Orientation et classe fondamentale Orientation et classe fondamentale |
Soit $V$ une variété connexe satisfaisant les hypothèses du théorème de dualité de Poincaré. Alors $H_0(V)\cong \mathbb{Z}$ et donc, d’après le théorème $H_d(V)\cong \mathbb{Z}$. Il y a donc deux générateurs de l’homologie en degré $d$ de $V$. Le choix d’un tel générateur $[V]\in H_d(V)$ est appelé classe fondamentale de $V$ et correspond au choix d’une orientation. Dans cet article on étend cette approche à toute variété topologique ; cela permet de définir la notion d’orientation d’une variété topologique.
Orientation locale
Pour tout point $x\in V$, on peut trouver un voisinage $U$ de $x$ homéomorphe à $\mathbb{D}^d$. On déduit alors de la formule d’excision, du théorème d’écrasement et de l’invariance par homologie de l’homologie singulière le lemme suivant.
On a des isomorphismes :
$$\begin{array}{l} H_d(V, V\setminus \{x\}) & \cong H_d(U,U\setminus\{x\}) \cong H_d(\mathbb{D}^d, \mathbb{D}^d\setminus \{0\}) \cong H_d(\mathbb{D}^d, \mathbb{S}^{d-1}) \cong \tilde{H}_d(\mathbb{S}^d) \\ & \cong \mathbb{Z}. \end{array} $$
Prenons $V=\mathbb{R}^{d}$ et $\phi \in \mathrm{GL}(d)$ un isomorphisme linéaire. Soit $\alpha$ un générateur de $H_d(\mathbb{R}^{d}, \mathbb{R}^{d}\setminus \{0\})$. L’application induite en homologie
$$\phi_*:H_d(\mathbb{R}^{d}, \mathbb{R}^{d}\setminus \{0\})\to H_d(\mathbb{R}^{d}, \mathbb{R}^{d}\setminus \{0\})$$
est un isomorphisme et donc, envoie $\alpha$ sur $\pm \alpha$.
On a $\phi_*(\alpha)= \mathrm{det}(\phi) \, \alpha$. Autrement dit, $\phi_*(\alpha)=\alpha$ si $\phi$ préserve l’orientation et vaut $-\alpha$ sinon.
Le même résultat s’applique en fait à tout difféomorphisme de $\mathbb{R}^d$ (fixant $0$).
Démonstration. Comme $\mathrm{GL}(d)$ est homotope à $\mathrm{O}(d)$ (via la décomposition polaire), on est ramené au cas des transformations orthogonales. Il suffit alors de faire le calcul pour $\phi$ une réflexion par rapport à un hyperplan. On peut alors démontrer le résultat par récurrence de la même façon que l’on calcule le degré de l’application antipodale.
Enfin le cas général se déduit du cas de $\mathrm{GL}(d)$ car on peut se ramener à démontrer le résultat dans un voisinage $U$ de $0$ d’après le lemme précédent. Quitte à choisir le voisinage suffisament petit, $\phi$ est alors homotope à sa différentielle en $0$, qui est dans $\mathrm{GL}(d)$.
C.Q.F.D.
$$ $$
Les deux lemmes précédents permettent d’identifier le choix d’un générateur de $H_d(V, V\setminus \{x\})$ avec le choix d’une orientation de $V$ au voisinage de $x$ (c’est à dire une orientation de son espace tangent en $x$ lorsqu’il existe). On appelle un tel choix une orientation locale en $x$.
Orientation d’une variété
Remarquons (la preuve est la même que pour le lemme ci-dessus) que si $B\cong \mathbb{D}^d$ est une boule de $V$, pour tout $x$, $y$ dans $B$ on a des isomorphismes
$$ H_d(V, V\setminus \{x\}) \underset{j_{B,x}}{\stackrel{\cong}{\longleftarrow}} H_d(V, V\setminus B) \underset{j_{B,y}}{\stackrel{\cong}{\longrightarrow}} H_d(V, V\setminus \{y\})$$
où $j_{B,y}$ et $j_{B,x}$ sont les inclusions de paires naturelles. Deux orientations $o_x$, $o_y$ locales en $x$ et $y$ qui proviennent d’une même classe $\alpha \in H_d( V, V\setminus B)$ (c’est à dire $o_x= j_{B,x,*}(\alpha)$ et $o_y= j_{B,y,*}(\alpha)$) sont dîtes compatibles. Autrement dit, le choix d’un générateur de $ H_d( V, V\setminus B)$ donne une famille continue d’orientations en tout point de $B$. Ceci permet de définir le revêtement d’orientation :
Soit $V$ une variété topologique. On note $\tilde{V}$ l’ensemble des paires
$$\{ (x, o_x) \; : \; x\in V, \, o_x \mbox{ une orientation locale en } x \}$$
muni de la topologie dont une base d’ouvert est donnée par les ensembles
$$\{(x, j_{\overline{U},x,*}(\alpha ) ) \; : \; j_{\overline{U},x,*} \mbox{ est une orientation en } x \},$$
où $U$ est un ouvert de $V$.
Les considérations précédentes montre que la projection $p: \tilde{V}\to V$ est un revêtement à deux feuillets de $V$.
Si $A$ est inclus dans $V$, on appelle orientation de $A$ une section de $p$. Une orientation de $V$ est donc une section globale de $p$ et $V$ est dite orientable si une telle section existe (ce qui est équivalent au fait que $p: \tilde{V}\to V$ est trivial).
On a la proposition suivante qui identifie les différentes notions d’orientations.
Soit $V$ une variété topologique de dimension $d$.
- La variété $V$ est orientable si et seulement si $V$ est orientable sur tout compact de $V$.
- Si $V$ est de classe $C^1$, alors $V$ est orientable au sens usuel des cartes [1] si et seulement si elle est orientable au sens de la définition ci-dessus.
- Si $V\cong |K|$ est munie d’une structure PL et est compacte, alors, il existe une orientation des simplexes de dimension $d$ de $V$ telle que
$$\sum_{\gamma \in K^{(n)}} \gamma$$
est un cycle.
Si $V$ est compacte et orientée, on dispose d’une classe $[V]\in H_d(V)$ (donnée par une section de $p:\tilde{V}\to V$) qui induit les orientations locales en tout $x$ de $V$. Cette classe s’appelle la classe fondamentale de $V$.
Par la dualité de Poincaré, si $V$ est compacte sans bord, $V$ est orientable si et seulement si $H_d (V)\cong \mathbb{Z}$. [2]