Analyse des travaux scientifiques de Poincaré faite par lui-même (extrait)

L’ Analysis Situs est la science qui nous fait connaître les propriétés qualitatives des figures géométriques non seulement dans l’espace ordinaire, mais dans l’espace à plus de trois dimensions.

L’ Analysis Situs à 3 dimensions est pour nous une connaissance presque intuitive. L’Analysis Situs à plus de 3 dimensions présente au contraire des difficultés énormes ; il faut pour tenter de les surmonter être bien persuadé de l’extrême importance de cette science.

Si cette importance n’est pas comprise de tout le monde, c’est que tout le monde n’y a pas suffisamment réfléchi. Mais que l’on pense aux avantages qu’ont tirés les analystes des représentations géométriques, même dans des questions d’Analyse Pure et d’Arithmétique ; que l’on estime le soulagement que ces méthodes ont procuré à l’esprit des chercheurs. Combien il est regrettable que cet instrument merveilleux se trouve hors d’usage dès que le nombre des dimensions surpasse trois.

Riemann, qui avait fait de cet instrument l’usage que l’on sait, avait bien compris combien il serait important d’y suppléer et on a retrouvé dans ses papiers quelques notes, malheureusement un peu informes mais qui servent encore aujourd’hui de base à toutes nos connaissances sur l’Analysis Situs à plus de trois dimensions.

On a dit, écrivais-je (ou à peu près) dans une préface, que la géométrie est l’art de bien raisonner sur des figures mal faites. Oui, sans doute, mais à une condition. Les proportions de ces figures peuvent être grossièrement altérées, mais leurs éléments ne doivent pas être transposés et ils doivent conserver leur situation relative. En d’autres termes, on n’a pas à s’inquiéter des propriétés quantitatives, mais on doit respecter les propriétés qualitatives, c’est-à-dire précisément celles dont s’occupe l’Analysis Situs.

Cela doit nous faire comprendre qu’une méthode qui nous ferait connaître les relations qualitatives dans l’espace à plus de trois dimensions, pourrait, dans une certaine mesure, rendre des services analogues à ceux que rendent les figures. Cette méthode ne peut être que l’Analysis Situs à plus de trois dimensions.

Malgré tout, cette branche de la science a été jusqu’ici peu cultivée. Après Riemann est venu Betti qui a introduit quelques notions fondamentales ; mais Betti n’a été suivi par personne.

Quant à moi, toutes les voies diverses où je m’étais engagé successivement me conduisaient à l’Analysis Situs. J’avais besoin des données de cette science pour poursuivre mes études sur les courbes définies par les équations différentielles et pour les étendre aux équations différentielles d’ordre supérieur et en particulier à celles du problème des trois corps. J’en avais besoin pour l’étude des fonctions non uniformes de 2 variables. J’en avais besoin pour l’étude des périodes des intégrales multiples et pour l’application de cette étude au développement de la fonction perturbatrice.

Enfin j’entrevoyais dans l’Analysis Situs un moyen d’aborder un problème important de la théorie des groupes, la recherche des groupes discrets ou des groupes finis contenus dans un groupe continu donné. C’est pour toutes ces raisons que je consacrai à cette science un assez long travail. Je commence par donner plusieurs définitions des variétés de l’espace à plus de trois dimensions et par introduire la notion fondamentale de l’homéomorphisme qui est la relation de deux variétés qui ne sont pas distinctes au point de vue de leurs propriétés qualitatives.

Je suis amené ensuite à distinguer les variétés bilatères analogues aux surfaces ordinaires et les variétés unilatères analogues aux surfaces à un seul côté.

Betti avait découvert certains nombres entiers relatifs aux variétés ; analogues à ce qu’est pour une surface ordinaire ce qu’on appelle l’ordre de connexion. On sait que l’ordre de connexion d’une surface fermée dépend du nombre de trous qui y sont percés, de sorte que cet ordre est toujours impair. 1 pour une sphère, 3 pour un tore etc. On sait également quelle relation il y a entre le genre d’une courbe algébrique et l’ordre de connexion de la surface de Riemann correspondante.

J’ai fait voir que si l’on écrit la série des nombres de Betti pour une surface fermée, les nombres également distants des extrêmes sont égaux.

M. Heeaard ayant attiré mon attention sur certains exemples où ce théorème paraissait en défaut, je revins sur la même question dans un autre travail. La définition que j’avais donnée des nombres de Betti ne concordait pas toujours avec celle qu’avait donnée Betti lui-même. Le théorème, vrai pour les nombres de Betti tels que je les avais définis, ne l’est pas toujours pour les nombres tels que Betti les définissait lui-même.

On sait que l’ordre de connexion suffit pour déterminer une surface ordinaire au point de vue de l’Analysis Situs, c’est-à-dire que deux surfaces qui ont même ordre de connexion sont homéomorphes. On pouvait supposer que les nombres de Betti suffisaient de même pour déterminer une variété. J’ai montré qu’il n’en est rien, qu’à chaque variété correspond un groupe, nécessaire à sa détermination, et qu’à une même suite de nombres de Betti ne correspond pas toujours un même groupe.

J’ai cru devoir multiplier les exemples, pensant que c’était le meilleur moyen de familiariser les esprits avec des idées aussi nouvelles.

On sait qu’Euler a démontré une relation entre le nombre des faces, des arêtes et des sommets d’un polyèdre convexe. Pour les polyèdres non convexes, il y a une relation analogue entre ces trois nombres et l’ordre de connexion. Existe-t-il des relations du même genre entre des éléments des polyèdres de l’espace à plus de trois dimensions ? C’est la question que je me suis posée et que j’ai résolue affirmativement, en faisant usage de plusieurs démonstrations distinctes. Il est à remarquer que si le nombre des dimensions de l’espace est pair, cette relation ne dépend pas des nombres de Betti et qu’elle en dépend au contraire si le nombre des dimensions est impair.

Ces théorèmes sur les polyèdres ont une portée assez générale, car une variété fermée quelconque peut toujours être découpée en polyèdres ; rectilignes ou curvilignes, cela n’importe pas au point de vue de l’Analysis Situs. Dans mes travaux ultérieursj’ai généralement trouvé plus commode de supposer effectuée cette décomposition en polyèdres.

Il peut y avoir entre les figures tracées sur une variété, et en particulier entre les éléments d’un polyèdre, plusieurs sortes de relations qui sont susceptibles d’être représentées algébriquement par des équations symboliques et d’être combinées ensuite d’après les règles de l’algèbre ou d’après des règles analogues. J’ai appelé ces relations congruences, homologies, équivalences. Les congruences expriment tantôt que l’ensemble de tels éléments constitue une variété fermée, tantôt au contraire que cet ensemble constitue une variété ouverte dont la frontière complète est formée par l’ensemble de tels autres éléments.

Les homologies fondamentales expriment que l’ensemble de tels éléments constitue une variété fermée qui est la frontière complète d’une autre variété qui doit avoir une dimension de plus, mais qui reste indéterminée. Les homologies dérivées se déduisent des homologies fondamentales, mais il importe de distinguer celles qui s’en déduisent par addition et multiplication et celles qui s’en déduisent par division.

Les équivalences diffèrent des homologies parce qu’on ne se donne pas le droit d’y intervertir l’ordre des termes. C’est la considération de ces équivalences qui conduit au groupe dont j’ai parlé plus haut.

Toutes ces relations se présentent sous la forme d’équations linéaires à coefficients entiers. L’étude d’une variété se trouve ainsi ramenée à celle d’un certain nombre de tableaux formés de nombres entiers. Ces tableaux varient évidemment selon la manière dont la variété a été découpée en polyèdre ; mais cependant tous les tableaux différents que l’on peut obtenir ainsi conservent certains caractères communs que l’on peut appeler invariants et qui restent les mêmes quelle que soit la manière dont la variété est découpée. Ces invariants sont les plus grands communs diviseurs de certains déterminants formés avec les éléments des tableaux.

Grâce à cette représentation arithmétique, les démonstrations deviennent plus faciles à suivre et j’ai pu ajouter divers résultats à ceux que j’avais déjà obtenus. Par exemple pour que les deux définitions des nombres de Betti coïncident, il faut et il suffit que tous les invariants soient égaux à 0 ou à 1 ; on encore que le système des homologies obtenues par division n’en contienne pas que l’on ne puisse obtenir sans division ; ou enfin que le polyèdre ne soit pas tordu, c’est-à-dire que toutes les variétés que l’on peut former avec ses éléments soient bilatères.