Homologie du cercle et des sphères

Comme expliqué dans le texte "Axiomes d’une théorie homologique pour les variétés", il n’y a qu’une seule théorie homologique des variétés orientées qui vérifie les axiomes donnés dans le texte et notamment :

• l’homologie de $\mathbf R^n$ vaut $\mathbf Z$ en degré $0$ et $0$ en degré strictement positif.
• l’homologie est invariante par homotopie, et notamment par rétraction.
• l’homologie vérifie la suite exacte longue de Mayer-Vietoris : si une variété $X$ est l’union de deux ouverts $U$ et $V$, on a :

  $$ \ldots \to H_i (U) \oplus H_i (V) \to H_i (X) \to H_{i-1} (U \cap V) \ldots \to H_{i-1} (U) \oplus H_{i-1} (V) \to \ldots $$

Nous allons voir ici comment déduire de ces propriétés l’homologie du cercle et des sphères de dimension quelconque.

Homologie du cercle

Les ouverts $U$ (en bleu et violet), $V$ (en rouge et violet) et leur intersection (en violet).

Une possibilité parmi d’autres pour calculer l’homologie du cercle $\mathbb S^1$ est de le recouvrir par deux intervalles ouverts $U$ et $V$ dont l’intersection $U\cap V$ est l’union de deux intervalles.

On obtient alors que les groupes d’homologie de $U$ ou de $V$ sont les mêmes que ceux du point (un intervalle se rétracte sur le point), soit $\mathbb Z$ en degré $0$ puis $0$ en degré supérieur. Enfin, les groupes d’homologie de $U\cap V$ sont ceux de l’union de deux points, soit $\mathbb Z^2$ en degré $0$ puis $0$ en degré supérieur.

La suite exacte longue de Mayer-Vietoris s’écrit donc :

$$ \ldots \to 0 \to H_i (X) \to 0 \ldots \to 0 \to H_1(\mathbb S^1) \to \mathbb Z^2 \to \mathbb Z^2 \to H_0(\mathbb S^1) \to 0~. $$

On en déduit immédiatement que les groupes d’homologie du cercle sont triviaux en degré plus grand que $2$.
De plus, comme le cercle est connexe, $H_0(\mathbb S^1)=\mathbb Z$. Comme la suite est exacte, la seule solution pour le $H_1$ est $H_1(\mathbb S^1)=\mathbb Z$.

Conclusion : $H_0(\mathbb S^1)=H_0(\mathbb S^1)=\mathbb Z$ et $H_i(\mathbb S^1)=0$ pour $i\geq 2$.

Homologie de la sphère de dimension $2$

Les ouverts $U$ (en bleu et violet), $V$ en (rouge et violet) et $U\cap V$ (en violet)

On considère la sphère $\mathbb S^2$ de dimension $2$ avec un pole nord $N$ et un pôle sud $S$, recouverte par deux ouverts $U=\mathbb S^2\setminus \{N\}$ et $V=\mathbb S^2 \setminus \{S\}$.

On observe que $U$ et $V$ sont contractiles/ Ils ont donc les mêmes groupes d’homologie que le point. De plus $U\cap V$ se rétracte sur l’équateur de $\mathbb S^2$, soit le cercle $\mathbb S^1$. On vient de calculer les groupes d’homologie de cette intersection. Donc on peut écrire la suite exacte longue de Mayer-Vietoris :
 en degré $i\geq 3$, on voit $0\to H_i(\mathbb S^2) \to 0$, ce qui indique l’annulation de ces groupes d’homologie.
 en petit degré, on voit :

$$ 0\to H_2(\mathbb S^2) \to \mathbb Z \to 0 \to H_1(\mathbb S^2) \to \mathbb Z \to \mathbb Z^2 \to H_0(\mathbb S^2)\to 0 $$

Comme précédemment, on sait que la sphère est connexe et donc que $H_0(\mathbb S^2)=\mathbb Z$. On en déduit que l’avant-dernière flèche $\mathbb Z\to \mathbb Z^2$ est non-nulle, donc injective. Par exactitude, la flèche $H_1(\mathbb S^2) \to \mathbb Z$ est nulle. Autrement dit, on obtient $0\to H_1(\mathbb S^2)\to 0$ : ce groupe d’homologie s’annule. Enfin, la partie $0\to H_2(\mathbb S^2) \to \mathbb Z \to 0$ donne immédiatement que $H_2(\mathbb S^2)=\mathbb Z$.

Conclusion : $H_0(\mathbb S^2)=H_2(\mathbb S^2)=\mathbb Z$ et $H_i(\mathbb S^2)=0$ pour $i\neq 0, 2$.

Homologie des sphères $\mathbb S^n$

En utilisant la même technique que précédemment, on peut calculer tous les groupes d’homologie des sphères $\mathbb S^n$. Montrons par récurrence sur $n$ que :

$$ H_0(\mathbb S^n)=H_n(\mathbb S^n)=\mathbb Z\textrm{ et }H_i(\mathbb S^n)=0\textrm{ pour }i\neq 0, n. $$

En effet, on l’a vérifié pour $n=1$ et $n=2$. Supposons le vrai pour la sphère $\mathbb S^{n-1}$ ($n\geq 3$). On recouvre alors la sphère $\mathbb S^n$ comme précédemment : on choisit un pôle nord $N$ et un pôle sud $S$ et on pose $U=\mathbb S^2\setminus \{N\}$ et $V=\mathbb S^2 \setminus \{S\}$.

Alors $U$ et $V$ sont contractiles et ont donc l’homologie du point, tandis que $U\cap V$ se rétracte sur l’équateur de $\mathbb S^n$ qui est une sphère $\mathbb S^{n-1}$.

Donc, dans la suite exacte longue de Mayer-Vietoris, pour tout degré différent de $0$, $n$ on voit $0\to H_i(\mathbb S^n)\to 0$. Ces groupes d’homologie sont donc triviaux. En degré $0$ la connexité permet de conclure que $H_0(\mathbb S^n)=\mathbb Z$. Enfin, en degré $n$, on observe

$$0\to H_n(\mathbb S^n)\to H_{n-1}(\mathbb S^{n-1})\to 0~.$$

On conclut comme annoncé que

$$H_n(\mathbb S^n)\simeq H_{n-1}(\mathbb S^{n-1}) =\mathbb Z~.$$

Conclusion : Pour $n\geq 2$, on a $H_0(\mathbb S^n) = H_n(\mathbb S_n) = \mathbb Z$ et $H_i(\mathbb S^n) = 0$ pour $i\neq 0,n$.