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Dans l’article précédent, nous avons défini la caractéristique d’Euler-Poincaré d’un polyèdre $X$ comme la somme alternées des nombres de faces de dimension $i$ d’une cellulation de $X$. La formule d’Euler-Poincaré montre que celle-ci coïncide avec la somme alternée des nombres de Betti de $X$. En fait, nous aurions tout aussi bien pu utiliser adopter cette deuxième somme comme définition. C’est ce que nous nous proposons de faire ici.
Rappelons que l’on peut définir l’homologie singulière de tout espace topologique $X$. Nous dirons qu’un espace topologique $X$ est de type fini si les nombres de Betti de $X$ (au sens de l’homologie singulière) sont tous finis, et si seul un nombre fini d’entre eux ne sont pas nuls. Par exemple, tout polyèdre fini est un espace topologique de type fini. À tout espace topologique de type fini $X$, nous associons ici l’entier
$$\chi(X):=\sum_{i\geq 0} (-1)^i b_i(X),$$
où $b_i(X):=\mathrm{rang }(H_i(X))$ est le $i^{eme}$ nombre de Betti (au sens de l’homologie singulière) de $X$. On notera que, si $X$ est polyèdre, on peut tout aussi bien considérer les nombres de Betti au sens de l’homologie polyédrale puisque les groupes d’homologie polyédrale et singulière de $X$ sont alors isomorphes.
L’entier $\chi(X)$ définit ci-dessus remplit les conditions de notre définition de la caractéristique d’Euler-Poincaré :
- Si $X$ est réduit à un point, alors $\chi (X)=1$.
- Si $X$ et $X’$ ont le même type d’homotopie, $\chi(X)=\chi(X’)$,
- Si $K_1,K_2$ sont deux sous-complexes d’un complexe cellulaire fini $K$, on a
$$\chi (\vert K_1 \cup K_2 \vert) = \chi (\vert K_1 \vert ) + \chi (\vert K_2 \vert ) - \chi (\vert K_1 \cap K_2 \vert ).$$
Bien sûr, la formule d’Euler-Poincaré nous dit que l’entier $\chi(X)$ défini ci-dessus coïncide avec la somme alternée des nombres de faces de dimension $i$ d’une cellulation de $X$, et nous avons montré que cette dernière satisfait les propriétés souhaitées. Mais nous voulons donner ici une preuve directe, qui court-circuite la formule d’Euler-Poincaré.
Démonstration. Le premier point est évident : les nombre de Betti d’un singleton sont tous nuls, sauf le premier qui est égal à $1$. Le point ii est une conséquence immédiate de la définition de $\chi(X)$ et de l’invariance par homotopie de l’homologie singulière. Il reste à démontrer le point iii. C’est une conséquence de la proposition ci-dessous appliquées à petits voisinages ouverts $U$ et $V$ de $|K_1|$ et $|K_2|$ tels que $U,\,V,\,U\cap V$ se rétractent respectivement sur $|K_1|,\,|K_2|\,,|K_1\cap K_2|$.
C.Q.F.D.
Soient $X$ un espace topologique et $U$, $V$ deux ouverts de $X$ recouvrant $X$. On suppose que $U$, $V$ et $U\cap V$ sont de type finis. Alors $X$ est aussi de type fini et
$$\chi (X) =\chi(U)+\chi(V)-\chi(U\cap V).$$
Démonstration. Par la suite exacte de Mayer-Vietoris, les groupes d’homologie de $X$ sont de type finis. Notons respectivement $r_i$, $k_i$ le rang et la dimension du noyau de
$$H_i (X) \stackrel{(2)}{\to} H_{i-1} (U \cap V)$$
$r^{\cup}_i$ et $k^{\cup}_i$ le rang et la dimension du noyau de
$$H_i (U) \oplus H_i (V) \stackrel{(1)}{\to} H_i (X).$$
On a alors $b_i(X)= r_i +k_i$, $b_i(U)+b_i(V)=r^{\cup}_i +k^{\cup}_i$ et, comme la suite de Mayer-Vietoris est exacte, $ b_i(U\cap V)= k^{\cup}_i + r_{i+1}$ et $r_i^{\cup}=k_{i}$. On obtient
$$ \begin{array}{ccl} \sum (-1)^i b_i(X)= \sum (-1)^i (r_i+k_i) & = & \sum (-1)^i (r_i -k_i^{\cup}) + \sum (-1)^i (r_i^{\cup} +k_i^{\cup}) \\ &= & -\sum (-1)^{i} (r_{i+1}+k_i^{\cup}) +\chi(U)+\chi(V) \\ &=& -\chi(U\cap V) + \chi(U)+\chi(V). \end{array} $$
C.Q.F.D.