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> Surfaces complexes > Topologie des hypersurfaces de l’espace projectif : les théorèmes de (...) Topologie des hypersurfaces de l’espace projectif : les théorèmes de Lefschetz |
On se propose de présenter des résultats, dûs à Lefschetz, sur la topologie des hypersurfaces algébriques de l’espace projectif complexe, c’est-à-dire l’ensemble des points de $\mathbb P^n(\mathbb C)$ définis par une équation polynômiale homogène. Le principe qui ressort des résultats de Lefschetz est que la topologie d’une hypersurface algébrique possède beaucoup de points communs avec celle de l’espace projectif lui-même. Plus précisément, nous allons présenter une preuve du théorème :
Soit $V$ une hypersurface projective de $\mathbb P^n(\mathbb C)$, $n \geq 2$. Alors pour tout entier $i$ satisfaisant $0 \leq i \leq n-2$, on a les isomorphismes :
- $\pi_i(V) \simeq \pi_i(\mathbb P^n(\mathbb C))$.
- $H_{i}(V,\mathbb Z) \simeq H_i(\mathbb P^n(\mathbb C),\mathbb Z)$.
En particulier, si $n \geq 3$, toute hypersurface projective de $\mathbb P^n(\mathbb C)$ est simplement connexe. Lorsque $n=3$, on se retrouve dans le cadre étudié par Poincaré dans le Troisième complément de l’Analysis Situs. Le théorème montre en particulier que la compactification dans $\mathbb P^3(\mathbb C)$ d’une surface algébrique de $\mathbb C^3$ donnée par une équation polynômiale $z^2=F(x,y)$ est simplement connexe.
Théorie de Morse et type d’homotopie des variétés affines
Nous commençons par nous placer dans le cadre affine, c’est-à-dire que nous considérons un sous-ensemble $Z$ de l’espace $\mathbb C^N$, défini comme le lieu des zéros communs d’une famille $P_1,\ldots,P_s$ de polynômes en $N$ variables.
$$ Z=\{ z=(z_1,\ldots,z_N) \in \mathbb C^N \ | \ P_1(z)=\ldots=P_s(z)=0 \}.$$
La variété affine $Z$ est dite lisse lorsqu’il s’agit d’une sous-variété lisse de $\mathbb R^{2N}$ au sens de la géométrie différentielle. Il ressort de la théorie de Morse que si $Z$ est affine, lisse, de dimension complexe $n$, alors $Z$ doit avoir le type d’homotopie d’un $CW$-complexe de dimension $ \leq 2n$. Le point remarquable est que l’on peut rabaisser cette borne sur la dimension à $n$.
Soit $Z \subset \mathbb C^N$ une variété algébrique affine lisse de dimension complexe $n$, alors $Z$ a le type d’homotopie d’un $CW$-complexe de dimension $\leq n$. En particulier $H_i(Z,\mathbb Z)=0$ pour $i>n$.
Commençons par considérer un point $p$ dans $\mathbb{C}^N\setminus Z$. Désignons par $\langle , \rangle$ le produit hermitien standard sur $\mathbb{C}^N$ :
$$\langle z,z^{\prime} \rangle := z_1\overline{z}_1^{\prime}+\ldots+z_N\overline{z}_N^{\prime},$$
et introduisons la fonction $\delta_p: Z \to \mathbb{R}$ définie par
$$\delta_p(z):=\langle z-p,z-p \rangle.$$
Il s’agit d’une application lisse sur $Z$. On vérifie facilement que $z \in Z$ est un point critique de $\delta_p$ si et seulement si $(z-p) \perp T_zZ$ (l’orthogonalité s’entend relativement au produit hermitien $\langle , \rangle$). Soit $TZ^{\perp}$ le fibré normal à $Z$ :
$$TZ^{\perp}=\{ (z,u) \in \mathbb C^N \times \mathbb C^N \ | z \in Z, u \in T_zZ^{\perp} \}.$$
C’est une sous-variété lisse de dimension réelle $2n$ de $\mathbb C^N \times \mathbb C^N$. Considérons maintenant la fonction $\varphi : TZ^{\perp} \to \mathbb C^N$ définie par $\varphi((z,u))=z+u$. Un point $z \in Z$ est donc critique pour $\delta_p$ s’il existe $u \in T_zZ^{\perp}$ tel que $\varphi(z,u)=p$. Nous laissons nos lecteurs vérifier [1] que $z$ est un point critique dégénéré pour $\delta_p$ si et seulement si $(z,u)$ est un point critique pour $\varphi$. Dans ce cas, $p$ est donc une valeur critique de $\varphi$, et l’on déduit donc du lemme de Sard :
Pour presque tout $p \in \mathbb C^N$, la fonction $\delta_p: Z \to \mathbb R$ est une fonction de Morse.
Dans toute la suite, on fixe une fois pour toutes le point $p$ de sorte que $\delta_p$ soit de Morse. Pour montrer le théorème d’Andreotti et Frankel, il suffit de prouver que l’indice des points critiques de $\delta_p$ est toujours $\leq n$.
Soit $z_0$ un tel point critique. Quitte à appliquer à $Z$ et à $p$ une transformation du groupe unitaire $U(n)$, on peut supposer que l’espace tangent $T_{z_0}Z$ est engendré par les $n$ premiers vecteurs $(e_1,\ldots,e_n)$ de la base canonique de $\mathbb{C}^N$. En appliquant une translation, on peut supposer $z_0=0$. Le point $p$ est alors inclus dans $\text{vect}(e_{n+1},\ldots,e_N)$. Enfin, on peut appliquer une nouvelle transformation unitaire dans le sous-espace $\text{vect}(e_{n+1},\ldots,e_N)$, puis une homothétie, pour obtenir $p=e_{n+1}$. Toutes ces transformations préservent la fonction $||.||^2:=\langle , \rangle^2$ ou la multiplient par une constante $\lambda>0$. L’indice de notre point critique n’a donc pas été modifié.
La variété $Z$ est localement donnée au voisinage de $0$ par le graphe d’une application analytique $\psi: U \subset \mathbb C^n \to \mathbb C^{N-n}$, avec de plus $D_0\psi=0$. Si $\psi_1,\ldots,\psi_{N-n}$ désignent les applications coordonnées de $\psi$, on peut écrire :
$$ \psi_j(z)=Q_j(z)+o(|z|^2),$$
où $Q_1,\ldots,Q_{N-n}$ sont $N-n$ formes quadratiques complexes en $n$ variables. De
$$\delta_p(z)=|z_1|^2+\ldots+|z_n|^2+|\psi_1(z)-1|^2+|\psi_2(z)|^2+\ldots+|\psi_{N-n}(z)|^2,$$
on tire
$$ \delta_p(z)=1-2\Re e(Q_1(z))+\sum_{j=1}^n|z_j|^2+o(|z|^2).$$
On conclut que la Hessienne de $\delta_p$ en $0$ est la forme quadratique $-2\Re e(Q_1(z))+\sum_{j=1}^n|z_j|^2$ (que l’on voit comme une forme quadratique en $2n$ variables). Les valeurs propres de cette Hessienne sont les réels $1-2\lambda_i$, où $\lambda_i$ désignent les valeurs propres de la forme quadratique $\Re e(Q_1)$. La proposition sera démontrée si nous prouvons qu’il y a au plus $n$ valeurs propres $\lambda_i$ (comptées avec multiplicitée) qui sont strictement négatives. Pour le vérifier, appelons $S_1 \subset \text{M}_{2n}(\mathbb R)$ la matrice de la forme quadratique $\Re e(Q_1)$. L’identité $Q_1(iz)=-Q_1(z)$ montre qu’il existe une transformation orthogonale $J$ de $\mathbb R^{2n}$ telle que $J^{-1}S_1J=-S_1$. Aussi, si $\lambda<0$ est valeur propre de $S_1$ de multiplicité $k$, $-\lambda$ sera aussi valeur propre de multiplicité $k$. Il s’ensuit que $S_1$ possède au plus $n$ valeurs propres strictement négatives (comptées avec multiplicité). Ceci termine la preuve du théorème d’Andreotti-Frankel.
C.Q.F.D.
Preuve des théorèmes de Lefschetz
Généralement, le théorème de Lefschetz énoncé au début de ce texte est présenté comme une conséquence d’un énoncé plus général, connu sous le nom de « théorème de la section hyperplane ».
Soit $V \subset \mathbb P^N(\mathbb C)$ une sous-variété algébrique de dimension complexe $n$. Soit $H$ un hyperplan de $\mathbb P^N(\mathbb C)$ de sorte que les singularités de $V$ soient contenues dans $H \cap V$. Alors, pour tout entier $i$ tel que $0 \leq i \leq n-2$, on a les isomorphismes :
- $\pi_i(V) \simeq \pi_i(V \cap H)$
- $H_i(V,\mathbb Z) \simeq H_i(V \cap H, \mathbb Z)$.
Démonstration. La variété $Z=V \setminus (V \cap H)$ est affine, incluse dans $\mathbb C^N \simeq \mathbb P^{N}(\mathbb C) \setminus H$. C’est de plus une variété lisse, puisque les singularités de $V$ sont supposées appartenir à $V \cap H$.
Considérons un point $p \in \mathbb C^N$ tel que l’application $\delta_p:Z \to \mathbb R $ définie dans la section précédente soit de Morse. Définissons la fonction $\mu: V \to \mathbb R$ par $\mu(x)=\frac{1}{\delta_p(x)}$ sur $V \setminus (V \cap H)$, et par $\mu(x)=0$ sur $V \cap H$. L’application $\mu$ est continue. En dehors de $V \cap H$, elle est lisse et ses points critiques sont non dégénérés. En effet, les applications $\frac{1}{\delta_p}$ et $\delta_p$ ont les mêmes points critiques, et en ces points,
$$\text{Hess}(\frac{1}{\delta_p})=-\frac{1}{\delta_p^2}\text{Hess}(\delta_p).$$
Comme nous avons vu ci-dessus que les indices des points critiques de $\delta_p$ sur $Z$ sont majorés par $n$, l’égalité ci-dessus implique de plus que les points critiques de $\mu$ sont minorés par $2n-n=n$.
Soit $\epsilon>0$ tel que $\mu^{-1}(\epsilon)$ ne contienne aucun point critique de $\mu$. En dehors du fermé $V_{\epsilon}=\mu^{-1}([0,\epsilon])$, l’application $\mu$ possède un nombre fini de points critiques $x_1,\ldots,x_s$, tous non dégénérés et d’indice $\geq n$. Le théorème fondamental de la théorie de Morse (voir ici) assure que $V$ s’obtient à partir de $V_{\epsilon}$ en collant successivement des cellules de dimensions supérieures ou égales à $n$.
Nous allons en déduire le premier point du théorème, en prouvant que pour $0, \leq i \leq n-1$, le groupe d’homotopie relative $\pi_i(V,V \cap H)$ est trivial. Pour cela, nous notons $D^j$ le disque fermé de dimension $j$, et $S^{j-1}$ la sphère de dimension $j-1$ (on pourra penser au disque et à la sphère unité dans l’espace euclidien $\mathbb{R}^{j}$, mais on ne s’y intéressera en fait qu’à homéomorphisme près). Nous avons besoin d’un lemme technique dont la preuve n’est pas très difficile [2]. Dans la suite
Soit $Y$ un espace topologique obtenu à partir d’un espace $X$ en attachant une cellule de dimension $n$ et $f:D^i\to Y$ une application continue. Si $i < n$, alors l’application $f$ est homotope relativement à $f^{-1}(X)$ à une application $f_1:D^i\to X$.
Soit $i$ un entier tel que $0 \leq i \leq n-1$. Nous avons vu que $V$ s’obtient à partir de $V_{\epsilon}$ en collant successivement des cellules de dimensions supérieures ou égales à $n$. Nous donc déduisons du lemme ci-dessus que, si $s_0 \in S^{i-1}$, et $v_0 \in V \cap H$, toute application $f: (D^i,S^{i-1},s_0) \to (V,V \cap H,v_0)$ est homotope relativement à $S^{i-1}$ à une application $f_1: (D^i,S^{i-1},s_0) \to (V_{\epsilon},V \cap H,v_0)$.
Nous allons à présent utiliser le fait que $H \cap V$ est rétract par déformation d’un de ses voisinages dans $V$.
Il existe $U \subset V$ un voisinage ouvert de $V \cap H$ dans $V$ qui se rétracte par déformation sur $V \cap H$.
Nous choisissons $\epsilon>0$ comme précédemment, et suffisament petit pour que $V_{\epsilon}$ soit contenu dans le voisinage ouvert $U$ donné par cette proposition. Dans ce cas, l’application $f_1$ ci-dessus est elle-même homotope relativement à $S^{i-1}$ à une application $f_2: (D^i,S^{i-1},s_0) \to (V \cap H,V \cap H,v_0)$. Nous en déduisons que $\pi_i(V,V \cap H,v_0)=0$.
La suite exacte en homotopie de la paire $(V,V \cap H)$ (voir cet article) s’écrit :
$$ \ldots \rightarrow \pi_{k+1}(V,V \cap H,v_0) \rightarrow \pi_k(V \cap H,v_0) \rightarrow \pi_k(V,v_0) \rightarrow \pi_k(V,V \cap H,v_0) \rightarrow \ldots $$
Comme nous venons de voir que pour $0 \leq i \leq n-2$, les groupes $\pi_{i+1}(V,V \cap H)$ et $\pi_{i}(V,V \cap H)$ étaient nuls, on obtient l’isomorphisme $\pi_i(V \cap H) \simeq \pi_i(V)$ annoncé dans l’énoncé.
La preuve précédente ne s’adapte pas pour les groupes d’homologie, sauf si l’on sait montrer que $V \cap H$ est un rétract par déformation de $V_{\epsilon}$. On utilise donc ici le théorème de dualité de Poincaré-Lefschetz). Pour tout entier $i$, on a l’isomorphisme
$$ H_i(V,V \cap H,\mathbb Z) \simeq H^{2n-i}_c(V \setminus (V \cap H), \mathbb Z).$$
Or nous avons vu que le type d’homotopie de la variété affine $Z=V \setminus (V \cap H)$ était celui d’un $CW$-complexe de dimension inférieure ou égale à $n$, et par conséquent le groupe $H^{2n-i}_c(V \setminus (V \cap H), \mathbb Z)$ est nul dès que $i \geq n-1$.
La suite exacte de la paire $(V,(V \cap H))$ implique alors que les groupes $H_i(V, \mathbb Z)$ et $H_i(V\cap H, \mathbb Z)$ sont isomorphes pour $i \leq n-2$, ce qui termine la preuve du théorème de la section hyperplane.
C.Q.F.D.
Fin de la preuve du théorème de Lefschetz : plongement de Veronese
Il nous reste à expliquer pourquoi le Théorème de Lefschetz est en fait un corollaire du théorème de la section hyperplane. Cela est dû à l’existence du plongement de Veronese, que nous décrivons à présent.
Donnons nous un entier $d \geq 1$, et considérons l’ensemble $\mathcal{I}_{n,d}$ des $n+1$-uplets d’entiers naturels $(i_0, \ldots, i_n)$ satisfaisant $i_0+\ldots+i_n=d$. Le cardinal de $\mathcal{I}_{n,d}$ est donnée par le coefficient binomial $C_{d+n}^d$ (exercice !). Posons $N= C_{d+n}^d -1$, et considérons l’espace projectif $\mathbb P^N(\mathbb C)$, muni des coordonnées homogènes $[u_{I_0}:\dots:u_{I_N}]$, où $I_0, \ldots, I_N$ est une énumaration des éléments de $\mathcal{I}_{n,d}$ (par exemple dans l’ordre lexicographique).
On définit le $d^{\text{ième}}$ plongement de Veronese $v_d: \mathbb P^n(\mathbb C) \to \mathbb P^N(\mathbb C)$ par la formule
$$v_d([z_0:\ldots:z_n])=[u_{I_0}:\dots:u_{I_N}] \text{ où } u_{i_0 \ldots i_n}=z_0^{i_0} \ldots z_n^{i_n}.$$
Nous laissons nos lecteurs vérifier (c’est facile !) que cette application est une immersion injective. Comme $\mathbb{P}^n(\mathbb C)$ est compact, il s’agit donc d’un plongement.
On considère maintenant la sous-variété algébrique $V_{n,d}$ de $\mathbb P^N(\mathbb C)$ donnée par les équations homogènes
$$u_{i_0,\ldots,i_{n}}u_{j_0,\ldots,j_n}=u_{k_0,\ldots,k_n}u_{l_0,\ldots,l_n} \text{ si } i_0+j_0=k_0+l_0, \ldots, i_n+j_n=k_n+l_n.$$
C’est une variété de Veronese. Il s’avère que $v_d(\mathbb P^n(\mathbb C))=V_{n,d}$. Pour le vérifier, on commence par remarquer que $v_d(\mathbb P^n(\mathbb C))$ est (Zariski) fermé, comme image d’une variété projective par une application régulière. Il suffit à présent d’exhiber un ouvert de Zariski $V_{n,d}$ qui est contenu dans $v_d(\mathbb P^n(\mathbb C))$. Par exemple, $\Omega=V_{n,d} \cap \{ u_{d,0,\ldots,0} \}$ fait l’affaire. En effet, sur cet ouvert, on a un inverse explicite de l’application $v_{d}$ donné par
$$[u_{i_0 \ldots i_n}] \mapsto [u_{d,0,\ldots,0}:u_{d-1,1,0\ldots,0} : \ldots : u_{d-1,0\ldots,0,1}].$$
Comme $v_d$ est un plongement, on en déduit :
La variété de Veronese $V_{n,d}$ est difféomorphe [3] à $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$. En particulier, elle a les même groupes d’homotopies et d’homologie que $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$.
Considérons maintenant, comme dans l’énoncé du théorème de Lefschetz, une hypersurface projective $V$ de $\mathbb P^n(\mathbb C)$, de degré $d$, donnée par une équation homogène
$$\sum a_{i_0\ldots i_n}x_0^{i_0}\ldots x_{n}^{i_n}=0.$$
On remarque que $v_d(V)$ est l’intersection de la sous-variété $V_{n,d}$ et de l’hyperplan projectif $H \subset \mathbb P^N(\mathbb C)$ d’équation $\sum a_{i_0\ldots i_n}u_{i_0\ldots i_n}=0$. Ainsi l’hypersurface $V$ est difféomorphe à une section hyperplane de $V_{n,d}$. En utilisant le fait ci-dessus et le théorème de la section hyperplane, on en déduit immédiatement que les groupes d’homotopies et d’homologie de $V$ satisfont les propriétés annoncées par le Théorème de Lefschetz.
C.Q.F.D.
[1] Ils pourront également se reporter au paragraphe 6 du premier chapitre du livre référence de J. Milnor.
J. Milnor. Morse Theory. Princeton University Press, 1963. http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/milnmors.pdf
[2] Il s’agit du lemme 4.10 du livre d’A. Hatcher : https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf
Nous encourageons bien sûr nos lecteurs à chercher eux-même une preuve plutôt que de se précipiter sur le lien ci-dessus.
[3] En fait, beaucoup mieux : isomorphe en tant que variété algébrique, c’est-à-dire difféomorphe via un difféomorphisme polynomial d’inverse polynomial.