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Reconstruction topologique d’une fibration de Lefschetz

Dans cet article, nous décrivons la construction d’une variété topologique X de dimension 4 à partir d’une surface orientée F de genre g et de n courbes γ1,,γnF vérifiant une condition que l’on spécifiera. L’espace total d’une fibration de Lefschetz sera un cas particulier de cette construction : rappelons qu’il s’agit d’une surface complexe X (de dimension 2 sur C) munie d’une application holomorphe f:XP1(C) dont tous les points critiques sont non dégénérés, et dont les valeurs critiques correspondantes sont deux à deux distinctes. Dans ce contexte, la surface F est la « fibre générique » — c’est-à-dire la préimage d’une valeur non critique fixée de f — et les courbes γ1,,γn sont les « cycles évanescents » (voir l’article Groupe fondamental des fibrations de Lefschetz). La seconde partie de l’article est consacrée au calcul du groupe fondamental et des groupes d’homologie des variétés topologiques de dimension 4 construites auparavant. Étant donnée une surface algébrique complexe X, munie d’une fibration de Lefschetz, nous obtiendrons donc :

  • une construction d’un modèle topologique de X (faisant fi de sa structure algébrique complexe) ;
  • un nouveau calcul, purement topologique, du groupe fondamental et des groupes d’homologie de X.

Construction topologique

On part d’une surface fermée connexe orientée F de genre g, et de n courbes fermées simples γ1,,γn tracées sur F (on imposera plus tard une condition sur ces courbes). Pour i=1,,n on se donne un voisinage tubulaire Ai de la courbe γi, et on note τi un représentant du twist de Dehn à droite le long de γi dont le support est inclus dans Ai (c’est-à-dire tel que savoir τi(x)=x pour tout xFAi). On suppose que la composée

ϕ=τnτ2τ1

est isotope à l’identité de F. On observe que ϕ est l’identité dans le complémentaire de la réunion des anneaux Ai. On peut alors choisir un point base x0 dans F tel que ϕ soit isotope à l’identité relativement à un voisinage de x0.

La fibration sur la partie non-singulière

Soit Δn le domaine fermé de C égal au disque dont le diamètre est le segment [0,n+1], privé de la réunion des disques de centre i et de rayon 14 avec i{1,,n} (voir la figure ci-dessous).

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Le disque à n trous et son groupe fondamental

Le groupe fondamental de Δn basé au point y0=(n+1)1i2 est le groupe libre Ln dont on a noté les générateurs t1,,tn. En particulier, le bord extérieur de Δn négativement orienté correspond au lacet t1tn.

On se donne une représentation ρ:LnHomeo+(F) en posant

ρ(ti)=τi.

Comme les chemins se composent de gauche à droite et les applications de droite à gauche, on suppose que l’on a ρ(αβ)=ρ(β)ρ(α) pour tout α,βLn. En particulier,

ρ(t1tn)=τnτ1=ϕ.

Soit π:˜ΔnΔn le revêtement universel de Δn basé en y0. On construit une variété à bord V de dimension 4 par « suspension [1] » de la représentation ρ :

V=(˜Δn×F)/Ln

γLn agit par γ.(y,x)=(γ.y,ρ(γ)(x)). L’application p:VΔn définie par p(x,y)=π(x) est un fibré de fibre F. La représentation ρ est appelée monodromie du fibré V et l’application i:x(y0,x) identifie la fibre p1(y0) à F. On note ˜x0 l’image de x0 par cette application : ce sera le point base de V.

D’après la Suite exacte de la fibration, on a la suite exacte suivante :

π2(Δn,y0)π1(F,x0)iπ1(V,˜x0)pπ1(Δn,y0)1.

Or Δn est homotopiquement équivalent à un bouquet de cercles : son revêtement universel est donc contractile et π2(Δn,y0)=1. De plus, on dispose d’une section s de la suite précédente en posant s(ti)=[˜ti×x0]˜ti est un relevé de ti issu de y0 dans ˜Δn.

La section s nous donne donc un isomorphisme

π1(V)=π1(F,x0)Ln

où le générateur ti de Ln agit sur π1(F,x0) par τi.

Fibres singulières et chirurgie

Soit di le bord du i-ème cercle intérieur de Δn et Mi=p1(di). L’application p:Midi est toujours une fibration et sa monodromie est le twist de Dehn τi. On dit que Mi est le tore [2] de l’application τi. Cette variété peut être construite plus explicitement de la manière suivante :

Mi=(F×[0,1])/ où (x,1)(τi(x),0).

Observons que cette même variété s’obtient aussi par chirurgie de la façon suivante.

Soit Ti=Ai×[12,1]Mi. Il s’agit d’un tore plein, c’est-à-dire une variété topologique homéomorphe à D2×S1. De plus, comme τi est l’identité sur FAi, on a l’égalité

MiTi=(F×S1)(Ai×[12,1]).

Dans cette formule, on a identifié S1 avec R/Z. Il s’agit bien d’une chirurgie de Dehn : en ôtant un tore plein dans F×S1 et en le recollant différemment, on obtient Mi. Précisément, on recolle le tore plein D2×S1 de la façon suivante : la courbe S1×{1} correspond au bord du carré αi×[12,1]Tiαi est un arc traversant l’anneau Ai. Son bord, vu dans F×S1 est la courbe rouge dans la figure ci-dessous

δi=(αi×[12,1])(αi×{12})(τi(αi)×{1})

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On construit maintenant une variété Vi dont le bord est Mi. On pose

Vi=(F×D2)ϕi(D2×D2).

Dans cette formule, ϕi:S1×D2F×S1 est un plongement d’image Ai×[12,1] qui envoie S1×{1} sur la courbe δi. Par construction, le bord de la variété Vi s’identifie à la variété Mi vu qu’on a

Vi=(F×S1)(Ai×[12,1])ϕi(D2×S1).

Soit d0 le cercle extérieur de Δn, on doit traiter différemment ce cas puisque cette fois, la variété M0=p1(d0) est le tore de l’application τnτ1 qui est isotope à l’identité. Soit Φ:F×[0,1]F une application continue qui vérifie que xΦ(x,t) est un homéomorphisme pour tout t qui vaut τnτ1 si t=1 et l’identité si t=0. Une telle application Φ existe par hypothèse.

On pose alors

V0=(D2+×F)ψ(D2×F)

D2±={zC,|z|1,±Im(z)0}

et

ψ:(D2R)×F(D2+R)×F

est définie par

ψ(t,x)=(t,x) si t0ψ(t,x)=(t,Φ(x,t)) si t0.

On a ainsi

V0=M0.

On peut finalement construire X par la formule

X=Vni=0Vi

de sorte que X est une variété orientée compacte et sans bord de dimension 4.


Pourquoi cette variété X est-elle un modèle pour une fibration de Lefschetz ?

Ce n’est pas du tout évident ! Le point crucial consiste à montrer que les fibres singulières d’une fibration de Lefschetz admettent des voisinages qui sont homéomorphes à un produit D×F auquel on a ajouté une anse d’indice deux comme indiqué précédemment. Nous allons démontrer ce fait à l’aide d’un argument de théorie de Morse.

Dans ce qui suit, nous utilisons sans rappel la description (locale et globale) des fibrations de Lefschetz faite dans les articles précédents (ici, ici et ici). On note D={(x,y)R2 | x2+y21} le disque unité fermé de dimension 2 orienté via l’orientation directe.

Ajout d’une anse d’indice deux. Soit X une variété compacte à bord orientée de dimension quatre. L’ajout d’une anse d’indice deux à X se fait via la donnée d’un plongement lisse

Γ:D×DX

qui préserve l’orientation. L’anse D×D est recollée à X via l’application Γ, pour obtenir une nouvelle variété de dimension quatre X+ à bord et à coins. On munit D×D de l’orientation opposée à l’orientation standard de manière à obtenir une orientation bien définie sur X+.

Le type topologique de la variété X+ ne dépend que de la classe d’isotopie du plongement Γ. Celle-ci est déterminée par le noeud orienté N défini comme la classe d’isotopie de la courbe γ=Γ(D×0), ainsi que par la parallélisation de ce noeud donnée par Γ. Par définition, une parallélisation est un isomorphisme du fibré normal du noeud avec le fibré trivial au dessus du cercle, qui préserve l’orientation. Etant donnée une parallélisation d’un noeud, une section parallèle est l’image d’une section constante par cette trivialisation, ou d’une trivialisation homotope. À homotopie près, une parallélisation d’un noeud est complètement déterminée par une de ses sections parallèles (exercice !).

Pour tout entier nZ, considérons le nouveau plongement

Γn(ζ,z)=(ζ,zζn).

(ici nous avons identifié D avec le disque unité D via (x,y)x+iy). Nous dirons que Γn tourne à gauche (resp. droite) |n| fois par rapport à Γ si n est positif (resp. négatif). La topologie de X+ dépend à la fois du noeud et de cet entier n. On décrit de cette façon toutes les parallélisations d’un noeud donné. Ceci est dû au fait que le groupe GL+2(R) se rétracte par déformation sur son sous-groupe compact maximal SO(2,R) (exercice !).

Passage d’un point d’indice deux en théorie de Morse. Soit m:XR une fonction de Morse, et [a,b]m(X) un intervalle ne contenant qu’une seule valeur critique c(a,b). Supposons que c est d’indice deux. Rappelons que cela signifie que l’on a des coordonnées centrées au point critique associé à c, en lesquelles m s’écrit m(x,y,z,t)=x2y2+z2+t2+c. La théorie de Morse nous dit que le sous-niveau Xmb est obtenu à partir du sous-niveau Xma par l’ajout d’une anse d’indice deux. Cette anse est attachée au noeud de Xma défini par la courbe

(x,y)Dca(x,y,0,0)Xma

d’image γ muni de la parallélisation donnée par

(x,y,a,b)D×R2(xca,yca,z=b,t=a)Nγ.

(cette parallélisation préserve bien l’orientation, vis à vis de l’orientation naturelle de Xma). Nous aurons en fait besoin d’utiliser la théorie de Morse dans le cas où X a du bord. La théorie fonctionne alors de façon identique si l’on suppose que la fonction de Morse est sans point critique sur le bord.

Voisinage des fibres singulières d’une fibration de Lefschetz. On note CC le carré [1,1]+i[1,1]. Soit f:XC une fibration de Lefschetz, qui n’admet qu’une valeur critique, située en l’origine. La partie réelle de f

m:=f

est une fonction de Morse sur X. En effet, son unique point critique est celui de f, et si l’on considère des coordonnées complexes (x1,x2) sur X telles que f(x1,x2)=x21+x22, donnée par le lemme de Morse holomorphe, nous avons

m(x1,x2)=u21+u22v21v22,

avec uk=xk et vk=xk. La théorie de Morse nous dit donc que si a>0 est suffisamment proche de 0, Xma s’obtient à partir de Xma en ajoutant une anse d’indice deux. Calculons le noeud ainsi que le parallélisme qui permet de définir cette anse. D’après ce qui précède, il s’agit de la courbe γ=0×aD2, paramétrée de façon directe, et le parallélisme est donné par

(x,y,a,b)D×R2(u1=a,u2=b,v1=xa,v2=ya)Nγ.

(le fait que l’on intervertisse pas u1 et u2 ici vient du fait que l’on a changé l’orientation naturelle de X induite par sa structure complexe, en transposant les coordonnées v1 et u2). Observons que la courbe γ est contenue dans la fibre f1(a) : il s’agit du cycle évanescent. De plus, la variété Xma est elle-même fibrée par les niveaux de l’application f. On a donc un parallélisme Γ de γ dans Xma dans lequel une section parallèle est envoyée sur une section tangente à f1(a). Calculons cette section dans les coordonnées uk,vk. Comme la fibration est holomorphe, il suffit de multiplier une section du fibré tangent à γ par le nombre complexe i=1. Une section du fibré tangent à γ est donnée par le champ v2v1v1v2. Comme uk=vk, notre section parallèle est finalement donnée par le champ v2u1+v1u2. La parallélisation de γ que l’on cherche fait donc un tour à droite par rapport à la parallélisation Γ.

Conclusion. Soit f:XΣ une fibration de Lefschetz de fibre régulière F. Soit F0 une fibre singulière de f, et γF le cycle evanescent associé à F0. Le paragraphe précédent montre que F0 admet un voisinage qui est homéomorphe à D×F auquel on a collé une anse d’indice deux, le long du noeud p×γD×F, qui est muni de la parallélisation qui fait un tour à droite vis à vis de la parallélisation constante de D×F. De plus, nous pouvons supposer que ce voisinage est une union de fibres de la fibration. En recollant ces voisinages avec le reste de la fibration, et en utilisant la formule de Picard-Lefschetz, on parvient à montrer que la variété totale X est bien homéomorphe à la variété construite à partir de la donnée des cycles évanescents sur F.

Il existe des exemples de variétés X construites comme précédemment qui ne sont pas des fibrations de Lefschetz holomorphes. Le lecteur intéressé par ces constructions pourra consulter le livre très complet sur la topologie en dimension quatre :

Robert Gompf, Andras Stipsicz. 4-manifolds and Kirby calculus. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society.

Calcul du groupe fondamental

Le calcul du groupe fondamental des fibrations de Lefschetz a déjà été fait, mais nous le revisitons dans le cadre plus général de la variété X décrite au paragraphe précédent. Cela nous permettra de revoir le théorème de Van Kampen !

Dans la variété X, les sous-ensembles V et (Vi)i=0,,n sont des sous-variétés à bord. On peut en considérer des voisinages tubulaires U et (Ui)i=0,n qui se rétractent par déformation sur les variétés correspondantes. De plus, pour tout i, l’ouvert UUi se rétracte par déformation sur la variété Mi qui est connexe par arcs. On peut alors calculer le groupe fondamental de X à l’aide du Théorème de Van Kampen en ajoutant successivement les variétés Vi et on aboutit au théorème suivant :

Théorème

Soit γi un représentant de γi dans π1(F,x0) et N=γ1,,γn le sous-groupe distingué engendré par ces lacets. On a alors l’isomorphisme

π1(X,˜x0)π1(F,x0)/N.

Démonstration. Pour tout i{0,,n} on note di la courbe [˜di×{x0}]V˜di est un relevé quelconque de di dans ˜Δn.

Appliquons le Théorème de Van Kampen aux ouverts U et U0. Chacun des ouverts U,U0 et UU0 est connexe par arcs et contient le point base ˜x0. On a donc

π1(UU0)π1(U)π1(UU0)π1(U0)π1(M)π1(M0)π1(W0).

Or la paire (V0,M0) est homéomorphe à la paire (Σ×D2,Σ×S1) et l’application π1(M0)π1(V0) est surjective de noyau engendré par la courbe d0. On en déduit l’isomorphisme

π1(UU0)π1(V)/d0

Dans cette formule, on remarque que le sous-groupe distingué engendré par certaines courbes ne dépend que de leur classe d’homotopie libre. On peut donc quotienter par des courbes qui ne sont pas issues du point base.

Ajoutons l’ouvert U1, les autres ouverts se traitant de la même façon : on se donne un point base y1 sur le cercle d1V. En applicant le théorème de Van Kampen aux ouverts UU0 et U1, on obtient l’isomorphisme

π1(UU0U1)π1(VV0)π1(M1)π1(V1)

La variété V1 est elle-même réunion des variétés Σ×D2 et D2×D2. On en déduit que π1(VV0V1) s’obtient de π1(VV0) en quotientant successivement par la courbe δ1 (en ajoutant D2×D2) puis la courbe d1 (en ajoutant Σ×D2).

Mettant bout à bout tous les collages, on trouve finalement la description suivante :

π1(X)π1(V)/di,i=0,,n,δi,i=1,,n

En effet, via l’isomorphisme

π1(V,˜x0)π1(F,x0)Ln=t1,tn,γπ1(F)|tiγt1i=τiγ,

on a di=ti et δi=γiti. On en déduit

π1(X)ti,γ|ti=1,γi=1,tiγt1i=τiγ

Or τi agit trivialement sur le quotient π1(F)/γi, ainsi la dernière relation est redondante et on a finalement

π1(X)γ|γi=1=π1(F,x0)/N.

C.Q.F.D.

Homologie et construction géométrique des cycles

Les nombres de Betti de la variété X se calculent exactement de la même manière que dans l’article Homologie des fibrations de Lefschetz :

  • b0(X) et b4(X) sont évidemment égaux à 1 ;
  • b1(X) s’obtient grâce à la description du groupe fondamental donnée ci-dessus, et au théorème d’Hurewicz ;
  • b3(X) est égal à b1(X) par dualité de Poincaré ;
  • la construction de la variété X décrite ci-dessus, et les propriétés d’additivité, multiplicativité,... de la caractéristique d’Euler-Poincaré permettent de calculer facilement la caractéristique d’Euler-Poincaré χ(X) ;
  • comme χ(X) est égale à la somme des nombres de Betti de X, et que l’on connait tous ces nombres sauf b2(X), c’est terminé !

Dans le Quatrième complément à l’Analysis Situs, Poincaré emprunte un chemin différent : il calcule explicitement les cycles de X et les décrit géométriquement, ce qui est bien plus difficile, mais également plus instructif. Sa preuve utilise une décomposition cellulaire un peu problématique car elle dégénère sur les points singuliers. Cependant on peut rendre rigoureux ses calculs, comme c’est fait par exemple dans

Klaus Lamotke, The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz, Topology, 20 (1981) p. 15-51.

Plus modestement, nous proposons de décrire géométriquement les cycles à la manière de Poincaré, mais sans démonstration. Bien sûr, le générateur de H0(X,R) est donné par la classe d’un point quelconque tandis que le générateur de H4(X,R) est donné par la classe fondamentale de X. Il reste à décrire les cycles de dimensions 1, 2 et 3.

Cycles de dimension 1

Pour chaque cycle évanescent γi, on note ˜γi un représentant de γi dans la fibre F. Pour former une base de H1(X,R), il suffit de considérer une famille de courbes δ1,,δ2gk dans FX telle que la famille des classes [~γ1,,[˜γn],[δ1],,[δ2gk] engendre H1(F,R). Géométriquement, le premier groupe d’homologie de X est "porté" par la fibre générique.

Cycles de dimension 2
La classe fondamentale de la fibre générique F et celle de la base P1(C) [3] « comptent pour le 2 » dans la formule b2=2+n2k. De plus, elles se coupent transversalement en un point.

Choisissons une courbe fermée simple δ quelconque dans la fibre générique et faisons la tourner autour du i-ème trou, elle devient la courbe τiδτi est l’action du twist de Dehn le long de γi en homologie. Par construction, elle s’écrit

τiδ=δ+(δγi)γi.

La surface ainsi balayée par δ est un cylindre dont le bord s’écrit τiδδ dans l’homologie de F. Si τiδ=δ alors ce cylindre devient un 2-cycle, mais ce cycle borde un 3-cycle obtenu en balayant δ à travers le i-ème trou. Ainsi, seules comptent les courbes δ qui ne sont pas fixées par τi, à savoir celles qui ne rencontrent pas trivialement γi. Cela fait une seule dimension par singularité, et on note δi une telle courbe. La condition de recollement s’écrit

δ1+τ1δ1τ1δ2+τ2τ1δ2τ2τ1δ3+τ(n1)τ1δn+δn=0

Un calcul utilisant la formule de Picard-Lefschetz montre que cette condition fournit k-contraintes sur les cycles δi, donnant nk dimensions pour le nombre de Betti b2(X).

C’était sans compter sur la contribution de V0 ! Toute courbe δ que l’on fait balayer autour du disque percé des singularités crée un cylindre qui borde dans V0, donc aussi dans X. Ainsi, il faut quotienter l’espace de cycles précédent par l’application envoyant une courbe ξ sur le n-uplet (ξ,τ11ξ,τ11τ12ξ,). Cela disqualifie encore un sous-espace à k-dimensions de l’espace de cycles précédent, et on se retrouve avec le nombre de Betti n2k que l’on cherchait à expliquer.

Cycles de dimension 3

Chaque cycle δ ne rencontrant aucun cycle évanescent peut être balayé à travers toutes les singularités, cela signifie que --- au moins au niveau homologique --- on peut fabriquer un 3-cycle comme « produit de δ par la base P1(C) ». Le nombre de tels 3-cycles est égal à 2gk, et ces derniers sont bien les générateurs du groupe H3(X,R).


[1Il s’agit d’une généralisation des variétés dont nous calculons ici les groupes fondamentaux.

[2Ou, la suspension, ou encore — en bon affreux franglais — le mapping torus. Voir ici.

[3Par construction de X, il existe une section canonique s de la fibration de Lefschetz f. Quand nous écrivons de « la classe fondamentale de la base P1(C) », il s’agit en fait de l’image de cette classe par s.