B-A-BA de topologie des variétés algébriques complexes

Le but de ce bloc est d’étudier les cycles induits par les sous-variétés algébriques des espaces projectifs complexes. On espère convaincre le lecteur que topologie et géométrie algébrique sont des sujets intimement reliés. Il est de toutes façons très clair qu’on a envie d’étudier les variétés algébriques du point de vue de l’Analysis Situs : contemplez par exemple la surface suivante.

Nous traiterons ici seulement le cas complexe, qui est paradoxalement plus simple. Commençons par illustrer ceci en démontrant par des méthodes topologiques le célèbre

Comme dans la démonstration du théorème de d’Alembert-Gauss [1] , il est naturel de compactifier un espace affine $\mathbb C^n$, en lui adjoignant un ensemble de points « à l’infini, » qui correspondent aux directions possibles dans $\mathbb C^n$, c’est-à-dire à l’ensemble des droites de $\mathbb C^n$ passant par un point donné, disons l’origine. L’espace obtenu est appelé l’espace projectif complexe. Une telle compactification est très utile en géométrie algébrique, les ensembles algébriques se compactifiant bien dans l’espace projectif. Par exemple, on sait bien que les courbes algébriques dans $\mathbb C^n$ ont des branches à l’infini, qui sont asymptotes à une certaine direction, il suffit de rajouter ces directions pour compactifier la courbe.

Formellement, on définit l’espace projectif complexe de dimension $n$ comme étant l’ensemble des droites de l’espace vectoriel $\mathbb C^{n+1}$ passant par l’origine : on le note $\mathbb P^n (\mathbb C)$. On peut donc le voir comme le quotient de $\mathbb C^{n+1} \setminus 0$ par l’action de $\mathbb C^*$ par multiplication par un scalaire. Il hérite de cette façon d’une structure de variété complexe compacte, pour laquelle

$$ \mathbb C^ * \rightarrow \mathbb C^{n+1} \setminus 0 \rightarrow \mathbb P^n (\mathbb C)$$

est une fibration holomorphe. Si $(x_0, \ldots, x_n) $ est un point de $\mathbb C^{n+1} \setminus 0$, on note $[x_0 : \ldots : x_n]$ sa projection dans $\mathbb P^n (\mathbb C)$ ; ce sont les coordonnées homogènes.

Étant donné un hyperplan $H\simeq \mathbb C^n \subset \mathbb C^{n+1}$, l’ensemble des droites qui ne sont pas contenues dans $H$ forment un ensemble qui s’identifie à $\mathbb C^n$ (naturellement à une transformation affine près de surcroît) : en effet, si l’on considère un espace affine $H'\simeq \mathbb C^n$ qui est parallèle à $H$ mais ne passe pas par l’origine, e.g. $H= \{0 \}\times \mathbb C^n$ et $H' = \{ 1\} \times \mathbb C^n $, alors toute droite vectorielle de $\mathbb C^{n+1}$ non contenue dans $H$ intersecte $H'$ en un unique point. Les droites qui sont contenues dans $H$ forment un ensemble qui s’identifie naturellement à $\mathbb P^{n-1}(\mathbb C)$. On obtient donc la décomposition

$$\mathbb P^n (\mathbb C)= \mathbb C^n \cup \mathbb P^{n-1} (\mathbb C), $$

formé d’un ouvert de carte affine $\mathbb C^n$ et d’un diviseur à l’ " infini" $\mathbb P^{n-1} (\mathbb C)$ correspondant bien à toutes les directions possibles de $\mathbb C^n$.

Ce résultat est démontré dans le bloc Homologie des espaces projectifs, nous en redonnons une démonstration par soucis de complétude.

Ces variétés sont en particulier des sous-variétés analytiques complexes de $\mathbb P^n(\mathbb C)$. Un théorème de Chow établit que ce n’est pas une situation plus générale : les sous-variétés analytiques complexes de $\mathbb P^n (\mathbb C)$ sont nécessairement algébriques. Il sera néanmoins avantageux d’énoncer les résultats dans le cadre des sous-variétés complexes, même si a posteriori on sait que ce sont les mêmes objets.

Une sous-variété complexe lisse $X\subset \mathbb P^n (\mathbb C)$ (a fortiori une sous-variété algébrique lisse) étant munie de l’orientation venant de sa structure complexe, elle définit un cycle $[X] \in H_ { 2k} (\mathbb P^n (\mathbb C), \mathbb Z)$, où $k$ est la dimension complexe de $X$ : il s’agit de sa classe fondamentale, voir Orientation et classe fondamentale. Le calcul de l’homologie de $\mathbb P^n(\mathbb C)$ montre que cette classe est un multiple du cycle induit par un sous-espace projectif de dimension $k$ : il existe un entier $d$ tel que $[X] = d \cdot [\mathbb P (W)]$, où $W$ est un sous-espace linéaire de $\mathbb C^{n+1}$ de dimension $k+1$. Cet entier est unique et s’appelle le degré de $X$.

En fait, on peut toujours définir la classe fondamentale de $X$, même dans le cas où elle est singulière. Cela nous amènerait trop loin de le faire dans ce bloc, nous nous contentons juste de commenter le cas des courbes algébriques planes. Dans ce cas, on sait qu’il n’existe qu’un nombre fini de singularités, et qu’au voisinage de toute singularité, la courbe algébrique peut être paramétrée holomorphiquement par un bouquet de disques attachés en un point (paramétrisation de Newton-Puiseux). Ainsi, une courbe algébrique plane, même singulière, peut être paramétrée par le quotient d’une surface de Riemann compacte par une relation dont toutes les classes sont des points, sauf un nombre fini qui sont finies, comme sur la figure ci-dessous. Un tel objet admet donc une classe fondamentale : l’image de la classe fondamentale de la surface de Riemann.

Courbe algébrique complexe singulière

Le résultat de positivité suivant est absolument fondamental en géométrie algébrique complexe. Pour l’énoncer, rappelons que si $N_1$ et $N_2$ sont deux sous-variétés de dimensions complémentaires d’une variété $N_3$, toutes orientées, et si $N_1$ et $N_2$ s’intersectent transversalement en un point $p$, alors l’indice d’intersection de $N_1$ et $N_2$ en $p$ est $1$ ou $-1$, suivant que les orientations induites par $N_1, N_2$ et $N_3$ sur $T_p N_3= T_p N_1 \oplus T_p N_2$ sont les mêmes, ou non.