|
> Homologie > Cohomologie > Cohomologie de De Rham > Fonctorialité et produit en cohomologie de de Rham Fonctorialité et produit en cohomologie de de Rham |
On a vu que la différentielle extérieure sur l’espace des formes différentielles donne naissance, pour chaque variété, à un groupe de cohomologie $\mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(M)$. Dans cette section, nous observons les conséquences de deux autres opérations sur les formes différentielles : le rappel par une application différentiable et le produit extérieur.
Le produit extérieur $\wedge : \Omega^p(M) \times \Omega^q(M) \to \Omega^{p+q}(M)$ induit un produit sur
$$ \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(M) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M} \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^p(M),$$
qui en fait une algèbre unitaire, commutative au sens gradué.
Démonstration. Soit $\alpha \in \mathrm{Z}_{\mathrm{dR}}^p(M)$ et $\beta \in \mathrm{Z}_{\mathrm{dR}}^q(M)$ deux formes fermées. D’après la règle de Leibniz, $\alpha \wedge \beta$ est également fermée :
$$ d(\alpha \wedge \beta) = d \alpha \wedge \beta \pm \alpha \wedge d \beta = 0.$$
En outre, si $\alpha'$ est une forme cohomologue à $\alpha$, de telle sorte qu’il existe $\omega \in \Omega^{p-1}(M)$ tel que $\alpha' - \alpha = d \omega$, on a
$$ \begin{array}{ll} &d(\omega \wedge \beta) = (\alpha' - \alpha) \wedge \beta \pm \omega \wedge d \beta,\\ \textrm{donc } &\alpha' \wedge \beta = \alpha \wedge \beta + d(\omega \wedge \beta), \end{array} $$
c’est-à-dire que les formes $\alpha \wedge \beta$ et $\alpha' \wedge \beta$ sont cohomologues. On montre de la même façon que la classe de cohomologie de $\alpha \wedge \beta$ ne changerait pas si on partait d’une forme fermée $\beta'$ cohomologue à $\beta$.
Le produit extérieur induit donc bien un produit bien défini sur les classes de cohomologie. Celui-ci hérite directement des propriétés d’unitarité, de bilinéarité et de commutativité au sens gradué de celui-là.
C.Q.F.D.
$$ $$
Soit $f : M \to N$ une application lisse. Le rappel des formes différentielles par $f$ induit un morphisme d’algèbres :
$$ f^* : \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(N) \to \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(M).$$
Démonstration C’est une conséquence directe des relations de compatibilité entre le rappel, la différentielle extérieure et le produit extérieur rappelées plus haut.
C.Q.F.D.
Si $f$ est un difféomorphisme, on obtient alors automatiquement que $f^* : \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(N) \to \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(M)$ est un isomorphisme d’algèbres. En particulier, toute variété difféomorphe à $\mathbb{R}^n$ a la cohomologie « triviale » de $\mathbb{R}^n$. L’isomorphisme de de Rham montre en fait que $\mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^*(M)$ s’identifie aux autres théories cohomologiques de $M$, et ne dépend donc en fait que de sa topologie, et même que de son type d’homotopie.