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> Homologie > L’homologie "à la Poincaré" > Comparaison entre homologie à la Poincaré et homologie singulière > Morphismes entre homologie singulière, non-singulière, plongée, à la (...) Morphismes entre homologie singulière, non-singulière, plongée, à la Poincaré |
Dans le premier article de la rubrique, nous avons défini des groupes d’homologie à la Poincaré. Dans l’article suivant, nous avons défini des groupes d’homologie singulière, d’homologie non-singulière, et d’homologie des simplexes plongés. Nous allons maintenant construire des morphismes naturels entre ces différents groupes d’homologies.
Commençons par le morphisme qui va de l’homologie des simplexes plongés vers l’homologie à la Poincaré. Nous avons déjà remarqué que tout simplexe plongé est en particulier une sous-variété polyédrale. Ceci nous fournit une injection naturelle
Ξp:CPlongesp(X)↪C◻p(X).
Par ailleurs, lorsqu’on voit un un simplexe plongé comme une sous-variété polyédrale, toute bissection du simplexe est une subdivision particulière de la sous-variété polyédrale (au sens défini dans cet article). Par conséquent, le morphisme ci-dessus passe au quotient en un morphisme
¯Ξp:¯CPlongesp(X)→¯C◻p(X).
Clairement, ¯Ξp induit un morphisme entre les groupes d’homologies
(¯Ξp)∗:¯HPlongesp(X)→¯H◻p(X).
Le morphisme (¯Ξp)∗ est surjectif.
L’existence de triangulation de toute variété (voir le ici) s’étend aux sous-variétés polyédrales. Ainsi, toute sous-variété polyédrale de dimension p de X admet une subdivision constituée de simplexes plongés dans X. Ceci prouve que le morphisme ¯Ξp:¯CPlongesp(X)→¯C◻p(X) est surjectif, pour tout p.
En fait, les même techniques permettent de montrer que, si V est une sous-variété polyédrale, et si τ est une triangulation du bord des faces de V, alors il existe une triangulation θ de V telle que la triangulation des faces de V induite par θ soit un raffinement de τ. Considérons maintenant une p-chaîne à la Poincaré V=∑Vi et supposons que le bord de V est nul à subdivisions près. On peut alors trouver une triangulation τ du faces des Vi, telle que la somme des éléments de τ affectés des orientations des faces des Vi soit nulle. Puis on peut considérer alors une triangulation θ des Vi telle que la triangulation des faces des Vi induite par θ soit un raffinement de τ. Quitte \`a raffiner θ, on peut même supposer que, quand Vi et Vj ont une face commune, la triangulation de Vi et la triangulation de Vj induisent la même triangulation de cette face commune. Comme la sommes des éléments de τ affectés des orientations des faces des Vi est nulle, il en résulte que la somme des faces orientées des éléments de θ est également nulle. Autrement dit, on a trouvé une subdivision θ de V dont les éléments sont des p-simples plongés, et dont le bord est nul.
On a donc montré que la restriction
¯Ξp:ker(¯∂p:¯CPlongesp(X)→¯CPlongesp−1(X))→ker(¯∂p:¯C◻p(X)→¯C◻p−1(X))
est encore surjective.
Par conséquent, le morphisme (¯Ξp)∗:¯HPlongesp(X)→¯H◻p(X) est surjectif.
C.Q.F.D.
Définissons maintenant un morphisme de l’homologie non-singulière vers l’homologie des simplexes plongés. Rappelons qu’un p-simplexe plongé dans X est, par définition, l’image géométrique d’un p-simplexe non-singulier à valeurs dans X. Ainsi, on a naturellement un morphisme surjectif « d’oubli de paramétrage »
Θp:CNonSingp(X)→CPlongesp(X),
qui associe à chaque p-simplexe non-singulier σ:Δp→X son image géométrique σ(Δp) (munie de l’orientation image par σ de l’orientation standard de Δp). Ce morphisme commute clairement avec les opérateurs de bord ; autrement dit, on a
∂p∘Θp=Θp−1∘∂p−1.
Si on considère maintenant une bissection linéaire d’un simplexe non-singulier σ, alors l’image de cette bissection est, par définition, une bissection du simplexe plongé σ(Δp). Ainsi, Θp passe au quotient en un morphisme surjectif
¯Θp:¯CNonSingp(X)→¯CPlongesp(X),
et on a
¯∂p∘¯Θp=¯Θp−1∘¯∂p−1.
Le morphisme ¯Θp induit donc un morphisme en homologie
(¯Θp)∗:¯HNonSingp(X)→¯HPlongesp(X).
Le coeur de la preuve est le lemme suivant :
Considérons un p-simplexe non-singulier α, et notons β la ième face de α. Considérons par ailleurs un (p−1)-simplexe non-singulier β′ tel que :
- les images de β et β′ coïncident (i.e. Θp−1(β)=Θp−1(β′)) ;
- les restrictions de β et β′ au bord de Δp−1 coïncident.
Si p≤6, alors il existe un p-simplexe non-singulier α′, tel que :
- les images de α et α′ coïncident (i.e. Θp(α)=Θp(α′)) ;
- β′ est la ieme face de α′ ;
- les autres faces de α′ coïcident avec celles de α.
Démonstration. Quitte à composer par l’inverse de α, on est ramené à la question suivante : si on se donne un difféomorphisme du bord du simplexe géométrique standard Δp égal à l’identité sur toutes les faces Δp sauf une, peut-on l’étendre en un difféomorphisme de Δp ? L’extension sur un voisinage du bord de Δp ne pose pas de problème. Dans la question ci-dessus, on peut donc remplacer le bord de Δp par une sphère lisse « parallèle au bord de Δp, mais situé un peu à l’intérieur de Δp ». Le lemme se ramène donc à la question suivante : tout difféomorphisme de la sphère Sp−1 qui coïncide avec l’identité sur un disque s’étend-il en un difféomorphisme de la boule Dp ?
La réponse à cette question est positive pour p≤6. C’est un résultat difficile, qui découle des travaux de Smale pour p=3,5,6, et de ceux de Cerf pour p=4 [1]. On notera que la réponse est par contre négative pour certaines valeurs de p, par exemple p=7 [2]
C.Q.F.D.
Revenons à la proposition. Rappelons que le morphisme
¯Θp:¯CNonSingp(X)→¯CPlongesp(X)
est surjectif. Démontrer la proposition revient à prouver que la restriction de ce morphisme
¯Θp:ker(¯∂p:¯CNonSingp(X)→¯CNonSingp−1(X))→ker(¯∂p:¯CPlongesp(X)→¯CPlongesp−1(X))
est encore surjective. Pour ce faire, on considère une p-chaîne plongée α telle que ∂p(Θp(α))=0, et on doit construire α′ telle que Θp(α′)=Θp(α) et ∂p(α′)=0. La construction de α′ se fait en appliquant le lemme ci-dessus autant de fois que les simplexes constituant α ont de facettes, en considérant les facettes par dimension croissante. Nous laissons les détails au lecteur.
C.Q.F.D.
- Nous ne savons pas si (¯Θp)∗ est surjectif pour tout p.
- On pourrait également démontrer que (¯Θp)∗ est injectif (pour p<7) en utilisant des arguments similaires à ceux de l’esquisse de preuve ci-dessus. Cependant nous emploierons une autre méthode (voir ici).
En composant les morphismes (¯Ξp)∗ et (¯Θp)∗, on obtient un morphisme naturel
(¯Ψp)∗:¯HNonSingp(X)→¯H◻p(X).
Ce morphisme est surjectif pour p<7.
Pour terminer, relions homologie non-singulière et homologie singulière. Pour ce faire, il suffit de rappeler qu’un p-simplexe non-singulier à valeurs dans X (c’est-à-dire un plongement lisse de Δp dans X) est a fortiori un p-simplexe singulier (c’est-à-dire une application continue de Δp dans X). On a donc une injection naturelle
Φp:CNonSingp(X)↪CSingp(X).
Cette injection passe évidemment au quotient en un morphisme
¯Φp:¯CNonSingp(X)→¯CSingp(X),
qui induit à son tour un morphisme en homologie
(¯Φp)∗:¯HNonSingp(X)→¯HSingp(X)≃HSingp(X).
Notons qu’il n’est pas clair a priori que ce morphisme soit injectif et/ou surjectif.
En résumé, on a construit, pour toute variété X et tout entier p, deux morphismes qui partent du peme groupe d’homologie non-singulière de X. Le premier, noté (¯Ψp)∗, arrive dans le peme groupe d’homologie à la Poincaré de X, et est surjectif. Le second, noté (¯Φp)∗, arrive dans le peme groupe d’homologie singulière de X.
Dans cet article, nous montrerons que les morphismes (¯Ψp)∗ et (¯Φp)∗ sont bijectifs pour p<min(7,dim(X)). Ainsi, la composition (¯Φp)∗∘(¯Ψp)−1∗ nous fournira un isomorphisme naturel entre le peme groupe d’homologie à la Poincaré et le peme groupe d’homologie singulière de X.
[1] Voir
J. Cerf. Sur les difféomorphismes de la sphère de dimension 3 (Γ4=0). Lectures Notes in Mathematics 53. Springer, 1968.
[2] C’est ce qui permet de montrer l’existence de sphères exotiques. Voir par exemple J. Milnor. On Manifolds Homeomorphic to the 7-Sphere. Annals of Math. 64, No. 2 (1956), 399-405.