Morphismes entre homologie singulière, non-singulière, plongée, à la Poincaré

Dans le premier article de la rubrique, nous avons défini des groupes d’homologie à la Poincaré. Dans l’article suivant, nous avons défini des groupes d’homologie singulière, d’homologie non-singulière, et d’homologie des simplexes plongés. Nous allons maintenant construire des morphismes naturels entre ces différents groupes d’homologies.

Commençons par le morphisme qui va de l’homologie des simplexes plongés vers l’homologie à la Poincaré. Nous avons déjà remarqué que tout simplexe plongé est en particulier une sous-variété polyédrale. Ceci nous fournit une injection naturelle

$$\Xi_p: C_p^{Plonges}(X) \hookrightarrow C_p^\square(X).$$

Par ailleurs, lorsqu’on voit un un simplexe plongé comme une sous-variété polyédrale, toute bissection du simplexe est une subdivision particulière de la sous-variété polyédrale (au sens défini dans cet article). Par conséquent, le morphisme ci-dessus passe au quotient en un morphisme

$$\overline{\Xi}_p: \overline{C}{}_p^{Plonges}(X) \rightarrow \overline{C}{}_p^\square(X).$$

Clairement, $\overline{\Xi}_p$ induit un morphisme entre les groupes d’homologies

$$(\overline{\Xi}_p)_*: \overline{H}{}_p^{Plonges}(X) \rightarrow \overline{H}{}_p^\square(X).$$

Définissons maintenant un morphisme de l’homologie non-singulière vers l’homologie des simplexes plongés. Rappelons qu’un $p$-simplexe plongé dans $X$ est, par définition, l’image géométrique d’un $p$-simplexe non-singulier à valeurs dans $X$. Ainsi, on a naturellement un morphisme surjectif « d’oubli de paramétrage »

$$\Theta_p : C_p^{NonSing}(X) \rightarrow C_p^{Plonges}(X),$$

qui associe à chaque $p$-simplexe non-singulier $\sigma:\Delta_p\to X$ son image géométrique $\sigma(\Delta_p)$ (munie de l’orientation image par $\sigma$ de l’orientation standard de $\Delta_p$). Ce morphisme commute clairement avec les opérateurs de bord ; autrement dit, on a

$$\partial_p\circ\Theta_{p}=\Theta_{p-1}\circ\partial_{p-1}.$$

Si on considère maintenant une bissection linéaire d’un simplexe non-singulier $\sigma$, alors l’image de cette bissection est, par définition, une bissection du simplexe plongé $\sigma(\Delta_p)$. Ainsi, $\Theta_p$ passe au quotient en un morphisme surjectif

$$\overline{\Theta}_p: \overline{C}{}_p^{NonSing}(X) \rightarrow \overline{C}{}_p^{Plonges}(X),$$

et on a

$$\overline{\partial}_p\circ\overline{\Theta}_{p}=\overline{\Theta}_{p-1}\circ\overline{\partial}_{p-1}.$$

Le morphisme $\overline{\Theta}_p$ induit donc un morphisme en homologie

$$(\overline{\Theta}_p)_*: \overline{H}{}_p^{NonSing}(X) \rightarrow \overline{H}{}_p^{Plonges}(X).$$

En composant les morphismes $(\overline{\Xi}_p)_*$ et $(\overline{\Theta}_p)_*$, on obtient un morphisme naturel

$$(\overline{\Psi}_p)_* : \overline{H}{}_p^{NonSing}(X) \rightarrow \overline{H}{}_p^\square(X).$$

Ce morphisme est surjectif pour $p<7$.

Pour terminer, relions homologie non-singulière et homologie singulière. Pour ce faire, il suffit de rappeler qu’un $p$-simplexe non-singulier à valeurs dans $X$ (c’est-à-dire un plongement lisse de $\Delta_p$ dans $X$) est a fortiori un $p$-simplexe singulier (c’est-à-dire une application continue de $\Delta_p$ dans $X$). On a donc une injection naturelle

$$\Phi_p : C_p^{NonSing}(X) \hookrightarrow C_p^{Sing}(X).$$

Cette injection passe évidemment au quotient en un morphisme

$$\overline{\Phi}_p : \overline{C}{}_p^{NonSing}(X) \rightarrow \overline{C}{}_p^{Sing}(X),$$

qui induit à son tour un morphisme en homologie

$$(\overline{\Phi}_p)_*: \overline{H}{}_p^{NonSing}(X) \rightarrow \overline{H}{}_p^{Sing}(X)\simeq H_p^{Sing}(X).$$

Notons qu’il n’est pas clair a priori que ce morphisme soit injectif et/ou surjectif.

En résumé, on a construit, pour toute variété $X$ et tout entier $p$, deux morphismes qui partent du $p^{eme}$ groupe d’homologie non-singulière de $X$. Le premier, noté $(\overline{\Psi}_p)_*$, arrive dans le $p^{eme}$ groupe d’homologie à la Poincaré de $X$, et est surjectif. Le second, noté $(\overline{\Phi}_p)_*$, arrive dans le $p^{eme}$ groupe d’homologie singulière de $X$.

Dans cet article, nous montrerons que les morphismes $(\overline{\Psi}_p)_*$ et $(\overline{\Phi}_p)_*$ sont bijectifs pour $p<\min(7,\mathrm{dim}(X))$. Ainsi, la composition $(\overline{\Phi}_p)_*\circ(\overline{\Psi}_p)_*^{-1}$ nous fournira un isomorphisme naturel entre le $p^{eme}$ groupe d’homologie à la Poincaré et le $p^{eme}$ groupe d’homologie singulière de $X$.