Trivialité de l’homologie de l’espace affine I

Dans cet article, nous montrons que les groupes d’homologie à la Poincaré de $\mathbb{R}^n$ sont triviaux, au moins en petit degré.

En suivant les idées esquissées dans l’Analysis Situs, nous avons défini une théorie homologique pour les variétés, que nous appelons homologie à la Poincaré. Assez paradoxalement, le principal problème technique posé par cette théorie homologique est la difficulté à calculer l’homologie de la variété la plus simple que l’on peut concevoir : l’espace affine $\mathbb{R}^n$. Plus précisément, on veut montrer :

Puisque toute variété de dimension $n$ est localement modelée sur $\mathbb{R}^n$, ce théorème est absolument nécessaire pour calculer n’importe quel groupe d’homologie à la Poincaré. Réciproquement, dès qu’on dispose de ce théorème, on peut calculer des groupes d’homologies de variétés à l’aide de suites exactes de Mayer-Vietoris exactement comme avec d’autre théorie homologiques plus classiques. De plus, ce résultat permet de montrer que l’homologie à la Poincaré est isomorphe à l’homologie singulière en petit degré (voir ici).

Pour démontrer le théorème ci-dessus, nous allons passer par un résultat analogue pour l’homologie non-singulière. Dans cet article, nous avons défini, pour toute variété $X$ et tout entier $p$, un groupe d’homologie non-singulière $\overline{H}{}_p^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$. Nous avons également défini un morphisme naturel

$$(\overline{\Psi}_{X,p})_* : \overline{H}{}_p^{NonSing}(X) \rightarrow \overline{H}{}_p^\square(X).$$

Ce morphisme est surjectif, pour toute variété $X$ et tout $p\leq 6$ (voir ici). Par conséquent, le théorème ci-dessus est une conséquence immédiate du suivant :

Poincaré admet tacitement le Théorème 1 ci-dessus, qui doit lui sembler parfaitement évident [1]. La preuve de ce résultat (ou, de manière presque équivalente, du Théorème 1bis) est pourtant très délicate. De fait, le Théorème 1bis est la clé d’une importante conjecture de Whitehead remontant à 1940 [2], et la première démonstration de cette conjecture, due à François Lalonde, ne date que de 1987 [3]. Nous suivrons ci-dessous une démonstration due à Jean Cerf [4], relativement compliquée d’un point de vue combinatoire, mais qui a l’avantage d’éviter le recours à des estimées explicites a priori.

Simplexes, chaîne, facettes, relations d’incidence, proximité

Dans toute la suite, l’entier $n\geq 1$ est fixé. On s’intéresse à l’homologie non-singulière (voir ici) de l’espace affine $\mathbb{R}^n$.

Rappelons qu’un $p$-simplexe singulier à valeur dans $\mathbb{R}^n$ est une application continue du $p$-simplexe géométrique standard $\Delta_p$ dans $\mathbb{R}^n$. Un $p$-simplexe non-singulier à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ est un plongement lisse de $\Delta_p$ dans $\mathbb{R}^n$. L’expression « soit $\xi$ une $p$-chaîne non-singulière à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ » signifiera que $\xi$ est un élément du $\mathbb{Z}$-module libre $C_p^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$, c’est-à-dire une combinaison linéaire formelle, à coefficients entiers, de plongements lisses de $\Delta_p$ dans $\mathbb{R}^n$. Il faut bien noter que nous appelons « $p$-chaîne non-singulière » un élément de $C_p^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$, et non pas un élément du module $\overline{C}{}_p^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$ (voir les définitions ici). Par ailleurs, quand nous écrivons un $p$-chaîne $\xi$ sous la forme $\xi=\sum_{i=1}^n \lambda_i \sigma_i$ où les $\lambda_i$ sont des coefficients entiers et les $\sigma_i$ des simplexes non-singuliers, il sera toujours sous-entendu que cette expression est sous forme réduite, c’est-à-dire que $\sigma_i\neq\sigma_j$ si $i\neq j$, et $\lambda_i\neq 0$ pour tout $i$. Puisque $C_p^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$ est un module libre, chaque $p$-chaîne a une unique écriture sous forme réduite. Pour les notions de face, de $q$-facette, de bord, de bissection, etc. d’une $p$-chaîne, on renvoie à cet article. Précisons simplement que, si $\xi$ est une $p$-chaîne qui s’écrit sous forme réduite $\xi=\sum_{i=1}^n \lambda_i \sigma_i$, nous appellerons $q$-facette de $\xi$ toute $q$-facette de l’un des $p$-simplexes $\sigma_1,\dots,\sigma_n$.

On rappelle que, pour définir le groupe d’homologie non-singulière $\overline{H}{}_p^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$, on commence par quotienter le $\mathbb{Z}$-module $C_*^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$ par la relation d’équivalence $\sim$ engendrée par les bissections de simplexes. On note $\overline{C}{}_*^{NonSing}(\mathbb{R}^n)$ le $\mathbb{Z}$-module quotient, et on pose

$$\scriptsize{\overline{H}{}_p^{NonSing}(X):=\ker\left(\overline{\partial}_p: \overline{C}{}_p^{NonSing}(X) \to \overline{C}{}_{p-1}^{NonSing}(X)\right)\left /\mathrm{im}\left(\overline{\partial}_{p+1}: \overline{C}{}_{p+1}^{NonSing}(X) \to \overline{C}{}_{p}^{NonSing}(X)\right)\right.}$$

(les détails se trouvent ici). Ainsi, pour montrer le Théorème 1bis, il suffit de montrer que, pour toute $p$-chaîne non-singulière $\omega$ à valeurs dans $\mathbb{R}^n$ qui est de bord nul, on peut trouver une subdivision par bissections successives $\omega'$ de $\omega$, telle que $\omega'$ est le bord d’une $(p+1)$-chaîne non-singulière.

Les déformations continues de $p$-chaînes jouent un rôle crucial dans la preuve du Théorème 1bis. Nous devons donc préciser la topologie que nous mettrons sur l’ensemble des $p$-chaînes.

Lorsque nous déformerons des $p$-chaînes, nous devrons suivre certaines facettes le long de ces déformations. Pour ce faire, nous utiliserons les notions définies ci-dessous.

Nous aurons également besoin d’une version relative de cette définition :

Enfin, nous aurons besoin de parler de l’« intersection » de certains couples de simplexes (non-)singuliers. Plus précisément, nous aurons besoin d’une notion de « couple de simplexes qui s’intersectant le long d’une facette commune » :

Réduction du théorème 1bis à un résultat sur les $p$-cycles proches

Rappelons que notre définition de l’homologie non-singulière tient compte de la possibilité de subdiviser les $p$-chaînes par bissections successives. Ainsi, démontrer le Théorème 1bis, c’est prouver que tout $p$-cycle non-singulier admet une subdivision par bissections successives qui est le bord d’une $(p+1)$-chaîne non-singulière. Pour ce faire, nous allons nous ramener à un $p$-cycle de simplexes affines. Nous utiliserons de manière cruciale les deux lemmes suivants :

Démonstration. C’est une conséquence de l’approximation $C^1$ des objets lisses par des triangulations et de la Proposition qui affirme que toute subdivision peut-être raffinée en une subdivision obtenue par bissections successives. Ces deux résultats, mis bout à bout, impliquent que, pour toute $p$-chaîne non-singulière $\omega$ et tout $\epsilon>0$, on peut trouver une subdivision par bissections successives de $\omega$, notée $\omega'$, et une $p$-chaîne $\omega''$ (non-singulière) telle que :

• $\omega''$ a les mêmes relations d’incidence que $\omega'$,
• $\omega''$ est constituée de simplexes affines,
• $\omega''$ est $\epsilon$-proche de $\omega'$. On remarque alors que, si $\epsilon$ est suffisamment petit, pour tout $t\in [0,1]$, la $p$-chaîne (a priori singulière) $\omega_t':=t\omega'+(1-t)\omega''$ est constituée de simplexe plongés. Autrement dit, pour $\epsilon$ assez petit $\omega_t'$ est une $p$-chaîne non-singulière pour tout $t$, et le chemin $(\omega_t')_{t\in [0,1]}$ possède donc les propriétés souhaitées.

C.Q.F.D.

La preuve de ce lemme utilise la notion de cône affine.

Démonstration du lemme sur les cycles affines. La preuve est basée sur la remarque triviale suivante : si $\sigma$ est non-singulier (c’est-à-dire injectif) et si $x$ n’appartient pas au $p$-plan affine engendrée par l’image de $\sigma$ dans $\mathbb{R}^n$, alors l’application affine $\mathrm{Cone}(\sigma,x)$ est elle aussi injective, autrement dit $\mathrm{Cone}(\sigma,x)$ est un $(p+1)$-simplexe non-singulier.

Considérons maintenant un $p$-cycle non-singulier $\omega=\sum_{i=1}^r\lambda_i\sigma_i$ à valeur dans $\mathbb{R}^n$, constitué de simplexes affines. On choisit un point $x$ qui n’appartient à aucun des $p$-plans engendrés par les images des simplexes $\sigma_1,\dots,\sigma_r$, et on considère $\mathrm{Cone}(\omega,x):=\sum_{i=1}^r \lambda_i \mathrm{Cone}(\sigma_i,x)$. C’est une $(p+1)$-chaîne non-singulière (constituée de simplexes affines). On vérifie très facilement que son bord est égal à $-\omega$. Ceci démontre le lemme.

C.Q.F.D.

Au vu de ces deux lemmes, la démonstration du Théorème 1bis se ramène à celle de la proposition suivante :

Par compacité de l’intervalle $[0,1]$, et par linéarité de l’opérateur bord, la proposition ci-dessus (et donc le Théorème 1bis) découle de l’énoncé suivant :

La preuve de cette proposition est relativement délicate, et fait l’objet d’un article complet.