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> Introduction à l’Analysis situs par les surfaces > Quelques calculs avec l’homologie polyédrale Quelques calculs avec l’homologie polyédrale |
L’homologie polyédrale permet souvent des calculs effectifs simples des groupes d’homologie d’une variété. Nous illustrons ici ceci avec diverses surfaces.
Un des avantages de l’homologie polyédrale est son aspect combinatoire qui permet des calculs simples d’homologie de variétés.
En considérant le cas des surfaces, on constate en effet que nous savons les représenter comme recollement d’un polyèdre : les 3 recollements possibles du carré donnent le tore, le plan projectif réel et la bouteille de Klein, tandis que la surface fermée orientable de genre $g$ est donnée par un recollement du $4g$-gone.
Cette présentation d’une variété comme recollement d’un polyèdre est une décomposition polyédrale de la variété. On peut donc calculer simplement les espaces de chaines et les groupes d’homologie, puis la caractéristique d’Euler-Poincaré.
Ceci est illustré dans la vidéo ci-dessous.
Les mêmes considérations peuvent être utilisées en dimension $3$, notamment pour étudier les variétés obtenues comme recollements du cube.
Invariance par subdivision
L’inconvénient majeur de l’homologie polyédrale, c’est qu’elle dépend du choix d’une décomposition polyédrale de la surface. En fait, on peut montrer que les groupes d’homologie calculés ne dépendent pas de la décomposition. Les preuves modernes utilisent le plus souvent l’isomorphisme entre homologie singulière et homologie cellulaire, mais Poincaré propose dans le premier complément une autre preuve consistant à montrer qu’on ne change pas les groupes d’homologie lorsqu’on subdivise un polyèdre. La vidéo suivante illustre cette preuve sur un exemple simple.