Théorème des coefficients universels

Les théorèmes de coefficient universels relient d’une part les groupes d’homologie et de cohomologie d’un complexe de chaînes et de son dual et d’autre part les groupes d’homologie à coefficients dans $G$ à ceux à coefficients dans $\mathbb{Z}$. Dans le cadre particulier et géométrique du complexe d’une variété triangulée, le résultat reliant l’homologie et la cohomologie est obtenu aussi dans l’étude de la dualité de Poincaré ;

Nous avons vu que l’accouplement de dualité entre un complexe de chaînes $(C_\bullet, \partial)$ et son dual $(C^\bullet, \delta)$ induisait un accouplement $\langle\,,\,\rangle: H^i(C^\bullet) \otimes H_i(C_\bullet) \to \mathbb{Z}.$ et donc un morphisme de groupes abéliens

$$H^i(C^\bullet) \to \mathrm{Hom} (H_i (C) , \mathbb{Z})$$

qui envoie un $i$-cocyle $f$ sur l’application qui à un $i$-cycle $x$ associe $f(x)$. Notons que cette dernière formulation se généralise sans difficulté au cas d’un groupe abélien de coefficient quelconque $G$.

Les groupes $\mathrm{Ext} (H ,G)$ apparaissant dans le théorème sont les groupes d’extension de $H$ par $G$.
Formellement, ils sont définis comme ensemble de classes d’isomorphisme d’extension de $H$ par $G$, c’est-à-dire de suite exacte courte $0 \to G \to J \to H \to 0$, avec une notion naturelle d’isomorphisme entre deux telles suites exactes [3]. On peut les munir d’une structure de groupe appelée la somme de Baer [4]. Ce groupe est fonctoriel à la fois en $G$ et en $H$ tout comme $\mathrm{Hom}(H,G)$ [5].

Propriétés utiles :
en pratique, Il suffit souvent de connaître les règles suivantes, valables si $H$ est de type fini :

• $\mathrm{Ext} (H\oplus H' , G ) \cong \mathrm{Ext} (H, G ) \oplus \mathrm{Ext} (H' , G )$,
• $\mathrm{Ext} (H , G ) = 0$ si $H$ est libre [6], et
• $\mathrm{Ext} (\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} , G ) \cong G/nG$.
• Si $0\to R\stackrel{\pi}\to P\to H\to 0$ est une suite exacte avec $P$ libre (ou projectif), alors, on a un isomorphisme canonique entre $\mathrm{Ext} (H ,G)$ et le quotient de $\mathrm{Hom}(R,G)$ par l’image $\pi^*(\mathrm{Hom}(P,G))$ (cette propriété peut en fait être prise comme définition).

En particulier, on en déduit

Une conséquence pratique du théorème des coefficients universels est que si le groupe des coefficients est un corps, il n’y a pas de torsion et les espaces vectoriel $H_i$ et $H^i$ sont alors isomorphes (lorsque ils sont de dimension finie).

Remarque : les groupes $Ext(H,G)$ sont en fait les premiers groupe de cohomologie $Ext^{1}_{\mathbb{Z}}(H,G)$ du foncteur dérivé de $Hom_{\mathbb{Z}}(H,-)$ (mais aussi du foncteur $Hom_{\mathbb{Z}}(-,G) $) [7]. Ce résultat permet d’étendre les propriétés utiles ci-dessus à des cas plus généraux et donne des méthodes de calcul. Elle permet aussi de définir ces groupes pour les (co)chaînes définies sur un anneau quelconque $k$ (et pas seulement $\mathbb{Z}$).

Passons maintenant à la version homologique promise du théorème des coefficients universels.

Les groupes $\mathrm{Tor} (H ,G)$ apparaissant dans le théorème sont les « produits de torsion » de $H$ par $G$. Formellement, ils sont définis comme étant les premiers groupes d’homologie $\mathrm{Tor}_1^{\mathbb{Z}} (H ,G)$ du foncteur dérivé du produit tensoriel $H\otimes -$ [9], mais aussi du foncteur $-\otimes G$. Précisément, cela veut dire que $\mathrm{Tor} (H ,G)$ est le noyau [10] de l’application $R\otimes G \to P\otimes G$ pour n’importe quelle suite exacte $0\to R\to P\to H$ où $P$ est projectif (par exemple libre). En pratique, plutôt que la définition, on en utilise les propriétés suivantes :
Propriétés utiles :

• On a un isomorphisme canonique $\mathrm{Tor} (H ,G) \cong \mathrm{Tor} (G, H)$.
• Ces groupes sont fonctoriels en $G$ et $H$.
• Si $G$ ou $H$ est libre (ou même plat), $\mathrm{Tor} (H ,G)=0$.
• $\mathrm{Tor} ( \bigoplus_{\alpha} H_\alpha\ ,G) \, \cong \, \bigoplus_{\alpha}\mathrm{Tor} (H_\alpha ,G) $.
• $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, G) \cong G/nG$.
• $\mathrm{Tor}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/ \mathrm{pgcd}(n,m)\mathbb{Z}$.

Les propriétés précédentes permettent de déterminer facilement les groupes $Tor(G, H)$ lorsque $H$ et $G$ sont de type finis. Elles ont aussi des conséquences intéressantes pour les groupes d’homologie à coefficients.

Remarque terminologique : les propriétés précédentes (et un peu d’algèbre homologique comme le fait que $\mathrm{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(-,G)$ commute aux limites inductives) permettent de montrer que $\mathrm{Tor}(H,G)$ est de torsion pour tous groupes abéliens $H$, $G$ et que $\mathrm{Tor}(H,-) =0$ si et seulement si $H$ est sans torsion.
Ce sont ces propriétés relatives à la torsion qui ont donné lieu à cette terminologie et cette notation [11].

Démonstration du théorème du coefficient universel

On se contente de donner la preuve pour la cohomologie. Celle pour l’homologie est analogue.

On note $Z_\bullet$, $B_\bullet$ les cycles et bords du complexe $C_\bullet$. Comme ce sont en chaque degré des sous-modules d’un groupe abélien libre, ils sont libres (attention, cette propriété ne serait pas immédiate si on travaille sur un anneau quelconque ; il faudrait dans les arguments de la suite pouvoir garantir que $B_\bullet$ est composé de modules projectifs pour faire marcher la preuve dans ce cadre général). En particulier, la suite exacte

$$ 0\to Z_p \to C_p \to B_{p-1}\to 0$$

se scinde. On note $f: C_\bullet \to Z_\bullet$ un choix de rétraction de ces suites exactes.

On applique le foncteur $\mathrm{Hom}(-,G)$ aux suites exactes courtes

$$ 0\to Z_p \stackrel{i}\to C_p \stackrel{\partial}\to B_{p-1}\to 0 \mbox{ et } 0\to B_p \stackrel{j}\to Z_{p} \stackrel{q}\to H_p(C)\to 0.$$

En utilisant aussi que

$$\mathrm{Ext}(H_p, G) \cong \mathrm{Hom}(B_{p-1}, G) /j^*\big( \mathrm{Hom}(Z_{p-1}, G) \big)$$

d’après les propriétés utiles, on obtient un diagramme commutatif

$$\xymatrix{ & & 0 & 0 \ar[d] & \\ 0 \ar[r] & \mathrm{Hom}(H_p(C), G) \ar[r]^{q^*} & \mathrm{Hom}(Z_p, G) \ar[r]^{j^*} \ar[u] \ar@/_/[d]_{f^*} & \mathrm{Hom}(B_p, G) \ar[d]^{\partial^*} & \\ & \mathrm{Hom}(C_{p-1}, G) \ar[r]^{\delta} \ar[d]^{i^*}& \mathrm{Hom}(C_p, G) \ar[r]^{\delta} \ar[u]_{i^*} & \mathrm{Hom}(C_{p+1}, G) & \\ & \mathrm{Hom}(Z_{p-1}, G) \ar[r]^{j^*} \ar[d] & \mathrm{Hom}(B_{p-1}, G) \ar[r] \ar[u]_{\partial^*}& \mathrm{Ext}(H_p, G) \ar[r] & 0. \\ & 0 & 0 \ar[u] & & }$$

Par construction, les suites horizontales et verticales du diagramme sont exactes.
On n’a plus qu’à se promener dans notre diagramme pour démontrer le résultat :)
Tout d’abord, nous avons vu que l’application $H_p(C,G)\to \mathrm{Hom}(H_p(C), G)$ est induite par $i^*$ appliquée à un cocycle $\varphi: C_p \to G$ (on peut s’amuser à vérifier, en se promenant autour du carré commutatif en haut à droite, que $\partial^*(j^*(i^*(\varphi))) = \delta(\varphi)=0$ et que par injectivité de $\partial^*$, cela force bien $i^*(\varphi)$ à être dans l’image de $q^*$ pour un cocycle). Cette application est scindée par $f^*\circ q^*$ (car $f\circ i = id$). Puisque l’application $H_p(C,G)\to \mathrm{Hom}(H_p(C), G)$ admet une section, elle est surjective.

Il reste à montrer que son noyau est bien $\mathrm{Ext}(H_p, G)$. Si notre cocyle $\varphi$ s’envoie sur $0$ dans $\mathrm{Hom}(H_p(C), G)$, alors $i^*(\varphi)=0$ par injectivité de $q^*$ et par exactitude, il provient donc de $ \mathrm{Hom}(B_{p-1}, G)$. Le noyau de $H_p(C,G)\to \mathrm{Hom}(H_p(C), G)$ s’identifie donc à $\partial^*(\mathrm{Hom}(B_{p-1}, G))/ Im(\delta)$. Par injectivité de $\partial^*$ (et commutativité du carré en bas à gauche), ce groupe est canoniquement isomorphe à $\mathrm{Hom}(B_{p-1}, G))\backslash j^*\big(i^*( \mathrm{Hom}(C_{p-1}, G))\big)$. Comme $i^*$ est en plus surjectif, on en déduit que ce dernier groupe n’est autre que le quotient $\mathrm{Hom}(B_{p-1}, G))\backslash j^*( \mathrm{Hom}(Z_{p-1}, G))$.
C’est à dire $\mathrm{Ext}(H_p, G)$ !

C.Q.F.D.