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Homologie des sphères de Brieskorn

Le but de cet article est de montrer que de nombreuses sphères de Brieskorn sont des sphères d’homologie entière.

Soient p, q et r trois entiers supérieurs à 2. On dénote par Σ(p,q,r) la sphère de Brieskorn de paramètres p, q et r, c’est-à-dire l’intersection dan C3 de la sphère S5 avec la surface complexe d’équation

zp1+zq2+zr3 .

Nous prouvons ici le résultat suivant :

Théorème (Brieskorn)

H1(Σ(p,q,r),Z)=0

dès que p, q et r sont deux à deux premiers entre eux.

La preuve de Brieskorn [1] consiste à calculer la cohomologie du complémentaire de Σ(p,q,r) dans S5 et à en déduire l’homologie de Σ(p,q,r) grâce à la dualité d’Alexander. La cohomologie de S5Σ(p,q,r) s’obtient en utilisant le fait que cette variété fibre au dessus du cercle (c’est un cas particulier de la fibration de Milnor).

Nous proposons ici une preuve plus "élémentaire".

Démonstration du théorème de Brieskorn. On suppose dorénavant que p, q et r sont deux à deux premiers entre eux.

Rappelons que le groupe U1 des nombres complexes de module 1 agit sur Σ(p,q,r) par

w(z1,z2,z3)=(wqrz1,wprz2,wpqz3) ,

munissant la sphère de Brieskorn d’une structure de fibré de Seifert.

Comme expliqué ici, ce fibré de Seifert possède trois fibres singulières qui sont les intersections de Σ(p,q,r) avec les plans d’équation z1=0, z2=0 et z3=0. En enlevant un voisinage saturé de chaque fibre singulière, on obtient un fibré en cercle au dessus d’une surface S homéomorphe à une sphère privée de trois disques. Comme S se rétracte sur un bouquet de cercles, ce fibré en cercles est trivial.

Notons a1, a2 et a3 les composantes de bord de S. Il découle de ce que nous venons de dire que Σ(p,q,r) est obtenue à partir de S×S1 en recollant trois tores solides T1, T2 et T3 le long de a1×S1, a2×S1 et a3×S1. La suite exacte de Mayer-Vietoris nous permet alors de prouver que H1(Σ(p,q,r),Z) est engendré par [a1],[a2],[a3] et [t], où [t] désigne la classe d’homologie d’une fibre régulière.

Considérons

P1={(z1,z2,z3)Σ(p,q,r)z1R+} .

En dehors de la fibre singulière l1 d’équation z1=0, P1 est une surface lisse transverse aux fibres de la fibration de Seifert. Comme l’application

(z1,z2,z3)z1

restreinte à Σ(p,q,r) est une submersion au voisinage de l1, on a

P1=l1 .

La fibre singulière l1 forme ainsi le bord d’une surface et sa classe d’homologie est donc triviale. Or, [l1] engendre l’homologie du tore solide T1 qui contient a1 et t. Par conséquent, a1 et t sont également triviaux en homologie.

On montre de la même façon que a2 et a3 sont triviaux en homologie. Comme [a1], [a2], [a3] et [t] engendrent H1(Σ(p,q,r),Z), on obtient donc

H1(Σ(p,q,r),Z)=0 .

C.Q.F.D.

Comme Σ(p,q,r) est orientable on a par ailleurs H0(Σ(p,q,r),Z)H3(Σ(p,q,r),Z)Z, et la dualité de Poincaré implique que H2(Σ(p,q,r),Z) est également nul. La sphère de Brieskorn Σ(p,q,r) est donc bien une sphère d’homologie entière. Nous prouvons ici que la sphère de Brieskorn Σ(2,3,5) n’est autre que la variété dodécaédrique de Poincaré.


[1BRIESKORN, Egbert. Beispiele zur differentialtopologie von singularitäten. Inventiones mathematicae, 1966, vol. 2, no 1, p. 1-14.