Exemples de fibrés de Seifert

Nous donnons ici divers exemples de fibrés de Seifert.

La sphère $\mathbb{S}^3$

Identifions la sphère $\mathbb{S}^3$ avec l’ensemble des couples $(z_1,z_2) \in \mathbb{C}^2$ tels que $|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1$. Nous avons expliqué dans la classification des fibrés en cercles que l’action de $\mathbb{U}^1$ sur $\mathbb{S}^3$ donnée par

$$w\cdot (z_1,z_2) = (wz_1, wz_2)$$

induisait une fibration de $\mathbb{S}^3$ sur $\mathbb{S}^2$.

Il s’agit, à isomorphisme près, de l’unique structure de fibré en cercle de $\mathbb{S}^3$. Il existe en revanche plusieurs autres structures de fibrés de Seifert.

On peut par exemple faire agir $\mathbb{U}^1$ sur $\mathbb{S}^3$ par

$$w\cdot (z_1,z_2) = (w z_1, w^q z_2)~,$$

où $q$ est un entier supérieur à $2$.

On obtient alors une fibration de Seifert avec une fibre singulière d’équation $z_1 = 0$ qui est de type $(q,1)$. L’orbifold quotient est homéomorphe à une sphère et possède une singularité d’angle $2\pi/q$.

Les espaces lenticulaires

Considérons l’action précédente de $\mathbb{U}^1$ sur la sphère, et soit $p$ un entier premier avec $q$. Notons $\Delta_p$ le groupe des racines $p$-ièmes de l’unité. Il est claire que la fibration précédente passe au quotient en une fibration de Seifert sur la variété

$$\Delta_p \backslash \mathbb{S}^3~,$$

qui n’est autre que l’espace lenticulaire $L(p,q)$.

Les sphères de Brieskorn

Rappelons que si $p$, $q$ et $r$ sont des entiers premiers entre eux, la sphère de Brieskorn $\mathbf{\Sigma}(p,q,r)$ est l’intersection de la sphère $\mathbb{S}^5$ dans $\mathbb{C}^3$ avec la surface complexe d’équation

$$z_1^p + z_2^q + z_3^r = 0~.$$

Elle possède une action fidèle de $\mathbb{U}^1$ donnée par

$$w\cdot (z_1, z_2, z_3) = (w^{m/p} z_1, w^{m/q} z_2, w^{m/r} z_3~,$$

où $m$ désigne le ppcm de $p$, $q$ et $r$. C’est donc un fibré de Seifert.

La structure précise de ce fibré de Seifert dépend beaucoup des propriétés arithmétiques du triplet $(p,q,r)$. Par exemple, lorsque $r = \mathrm{ppcm}(p,q)$, l’action de $\mathbb{U}^1$ est libre et $\Sigma(p,q,r)$ est donc un fibré en cercle.

Lorsque $p$, $q$ et $r$ sont deux à deux premiers entre eux, la fibration de Seifert possède trois fibres singulières qui sont les intersections de $\Sigma(p,q,r)$ avec les plans complexes d’équations $z_1=0$, $z_2=0$ et $z_3=0$. Ces fibres sont respectivement de type $(p,qr)$, $(q,pr)$ et $(r,pq)$.

Enfin, l’application

$$(z_1,z_2,z_3) \mapsto [z_1^p : z_2^q : z_3^r]$$

induit un homéomorphisme de l’espace des fibres de $\Sigma(p,q,r)$ dans la droite projective complexe d’équation $x_1+x_2+x_3 = 0$ dans $\mathbb{C}P^2$.

Lorque $p$, $q$ et $r$ sont deux à deux premiers entre eux, la sphère de Brieskorn $\Sigma(p,q,r)$ est donc un fibré de Seifert au dessus d’une sphère avec trois singularités d’angles $2\pi/p$, $2\pi/q$ et $2\pi/r$.

La suspension d’une surface par un difféomorphisme périodique

Nous avons vu dans la classification des fibrés en cercles que les suspensions du tore par un difféomorphisme unipotent sont des fibrés en cercles sur le tore. Les suspensions d’autres surfaces ne sont pas en général des fibrés de Seifert, sauf lorsque le difféomorphisme de la suspension est périodique.

Soit $\Sigma$ une surface compacte et $\Phi$ un difféomorphisme de $\Sigma$ tel que $\Phi^k = id_\Sigma$ pour un entier $k>0$. Rappelons que la suspension de $\Sigma$ par $\Phi$ est la variété

$$M_\Phi = \Sigma\times \mathbb{R} /\left((x,t)\sim \Phi(x, t+1)\right)~.$$

Comme $\Phi^k = id_\Sigma$, la variété $M_\Phi$ admet comme revêtement fini $\Sigma \times \mathbb{R}/k\mathbb{Z}$. L’action de $\mathbb{R}/k\mathbb{Z}$ sur $\Sigma \times \mathbb{R}/k\mathbb{Z}$ donnée par

$$w\cdot (x,t) = (x,t+w)$$

passe au quotient en une action de $\mathbb{R}/k\mathbb{Z}$ sur $M_\Phi$ qui munit $M_\Phi$ d’une structure de fibré de Seifert. L’espace des fibres est l’orbifold

$$\Sigma/\langle \Phi\rangle~.$$

Le quotient de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ par un sous-groupe discret

Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$. Alors le groupe compact $\mathrm{SO}(2) \simeq \mathbb{U}^1$ agit sur le quotient $ \Gamma \backslash \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ par multiplication à droite. Comme $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2)$ s’identifie au demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}^2$, l’espace des orbites de cette action est donc $\Gamma \backslash \mathbb{H}^2$. Si $\Gamma$ est sans torsion, alors $\Gamma \backslash \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ est homéomorphe au fibré unitaire tangent à la surface $\Gamma \backslash \mathbb{H}^2$. Mais même lorsque $\Gamma$ a de la torsion, $\Gamma \backslash \mathbb{H}^2$ est un orbifold et $\Gamma \backslash \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ est un fibré de Seifert.