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La démonstration que nous proposons ici est largement inspirée de celle que propose John Milnor dans son célèbre livre Morse Theory [1].
Nous allons voir dans cette partie comment construire de nombreuses fonctions de Morse, i.e. des fonctions lisses dont tous les points critiques sont non dégénérés. Un théorème important de Withney assure que toute variété réelle [2] de dimension $m$ se plonge de façon lisse dans un espace euclidien de dimension $2m$. Dans la suite, nous allons utiliser le fait qu’on peut plonger de manière lisse notre variété $M$ dans un espace euclidien, mais nous n’aurons pas besoin de toute la force du théorème de Withney qui donne une borne optimale sur la dimension du plongement.
Soit donc $M$ une variété de dimension $k$ plongée dans l’espace euclidien $\mathbf{R}^n$ de dimension $n > k$.
La stratégie de la démonstration est assez simple :
- caractériser les points critiques dégénérés de la fonction $L_p$ : nous allons voir que $q$ est un point critique dégénéré de $L_p$ si et seulement si $p$ est un point focal de $M$ en $q$ ;
- déduire du théorème de Sard que les points focaux de $M$ forment un ensemble de mesure de Lebesgue nulle.
On désigne par $N$ le fibré normal de $M$ : c’est une variété de dimension $n$ que l’on peut concrètement voir comme l’ensemble des couples $(q,v)$, où $q$ désigne un point de $M$ et $v$ un vecteur perpendiculaire à $M$ au point $q$. On désigne par $E$ la fonction de $N$ dans $\mathbf{R}^n$ qui, à un couple $(q,v)$, associe le point $q+v$.
Par définition un point $e$ de $\mathbf{R}^n$ est donc un point focal de $M$ s’il existe un couple $(q,v)$ de $N$ tel que $e = q+v$ et si la différentielle de $E$ en $q$ a un noyau de dimension $\mu > 0$ ($\mu$ est la multiplicité du point $e$).
Exemple : L’origine de $\mathbf{R}^3$ est le seul point focal de la sphère unité $\mathbf{S}^2$, ce qu’on comprend bien en remarquant que l’origine est l’image par $E$ de n’importe quel point de la sphère et du vecteur normal rentrant de norme 1.
Le théorème de Sard assure que les valeurs critiques de toute fonction de classe $C^1$ entre deux variétés de même dimension, est de mesure de Lebesgue nulle. Mais par définition, un point focal est une valeur critique de la fonction $E : N \longrightarrow \mathbf{R}^n$. Ce qui démontre la deuxième étape de notre stratégie.
Étudions à présent de plus près la fonction $L_p$. On se donne des coordonnées $u_l$ ($1 \leq i \leq k$) au voisinage d’un point $q$ de $M$. Comme $M$ est une sous-variété de $\mathbf{R}^n$, on en déduit une fonction $x : \mathbf{R}^k \rightarrow \mathbf{R}^n$ définie sur un voisinage de l’origine. On a alors
$$L_p(u_l) = ||x(u_l)-p||^2 = x(u_l) \cdot x(u_l) - 2x(u_l) \cdot p + p \cdot p.$$
Ainsi
$$\frac{\partial L_p}{\partial u_i} = 2 \frac{\partial x}{\partial u_i} \cdot (x(u_l)-p).$$
Finalement, le point $q$ est un point critique de $L_p$ si et seulement si le vecteur $q-p$ est orthogonal au plan tangent à $M$ en $q$.
On calcule ensuite la matrice hessienne, ce qui donne
$$\frac{1}{2}\frac{\partial^2 L_p}{\partial u_i \partial u_j} = \frac{\partial x}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_j} + \frac{\partial^2 x}{\partial u_i \partial u_j} \cdot (x(u_l)-p).$$
En notant $p = q + v$, la hessienne au point critique $q$ de $L_p$ est donc la matrice
$$\frac{1}{2}\frac{\partial^2 L_p}{\partial u_i \partial u_j} = g_{ij}(q)-(v \cdot l_{ij})(q),$$
où $g_{ij}(q)$ désigne le scalaire $\frac{\partial x}{\partial u_i}(q) \cdot \frac{\partial x}{\partial u_j}(q)$ et $l_{ij}(q)$ est le vecteur $\frac{\partial^2 x}{\partial u_i \partial u_j}(q)$.
Intéressons-nous maintenant aux points focaux de $M$. Considérons un point $q$ de $M$ et un vecteur orthogonal $v$ à $M$ au point $q$. On se donne $n-k$ « champs de vecteurs » $w_m$ définis dans des coordonnées locales $u_l$, tels que $w_m(u_l)$ soit orthogonal à $M$ en $x(u_l)$, ce qui permet d’écrire la fonction $E$ ainsi :
$$E(u_l,t_m) = x(u_l)+\sum_m t_m w_m(u_l).$$
Un calcul direct donne que le rang de la jacobienne est celui de la matrice
$$\frac{\partial x}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_j} + \sum_m t^m \frac{\partial w_m}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_j},$$
i.e., en utilisant le fait que
$$0 = \frac{\partial}{\partial u_i} \left(w_m \cdot \frac{\partial x}{\partial u_j}\right) = \frac{\partial w_m}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial x}{\partial u_j} + w_m \cdot \frac{\partial^2 x}{\partial u_i \partial u_j}$$
et les notations introduites précédemment, le rang de la matrice :
$$g_{ij}(q)-\sum_m t_m (w_m \cdot l_{ij})(q).$$
Ceci termine la démonstration du premier point de notre stratégie : un point $q$ de $M$ est un point critique dégénéré de $L_p$ si et seulement si $p$ est un point focal de $M$ en $q$, et la multiplicité de $q$ en tant que point critique est la même que celle de $p$ en tant que point focal.
Nous avons finalement démontré l’énoncé suivant :
En fait, on peut même montrer que les fonctions de Morse forment un ouvert dense de l’espace des fonctions lisses sur une variété donnée.