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Deux lemmes de recollement

Construire des variétés implique souvent de recoller des variétés « plus simples » selon leur bord. C’est le cas des variétés polyédriques introduites par Poincaré dans le §10 de l’Analysis Situs sur la construction desquelles nous revenons ici et dont les recollements du cube ou encore la variété dodécaédrique de Poincaré sont des exemples. Mais recoller des variétés selon leur bord met en jeu le choix d’un difféomorphisme de recollement. L’objet de cet article est de montrer que l’espace obtenu, après recollement, ne dépend toutefois que de la classe d’isotopie du difféomorphisme. Pas grand-chose à voir avec des noyaux atomiques isotopes donc...

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Recollement de variétés selon leur bord

Soit $N$ une variété lisse de dimension $n$ à bord non vide et éventuellement non connexe. Soient $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ deux réunions disjointes de composantes connexes du bord de $N$. On suppose de plus que les variétés $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ sont compactes et difféomorphes. Ce sont donc des variétés fermées (sans bord) lisses et de dimension $n-1$ et on se donne un difféomorphisme

$$f_0 : \Sigma_1 \longrightarrow \Sigma_2 .$$

On considère la variété quotient

$$M_0=N/(\Sigma_1=_{f_0}\Sigma_2)$$

dans laquelle on a identifié chaque point $x$ de $\Sigma_1$ au point $f_0(x)$ dans $\Sigma_2$.

Un premier lemme de recollement

Considérons deux autres sous-variétés disjointes fermées lisses $\Sigma_1 ' , \Sigma_2 ' \subset N$ formées de composantes du bord de $N$ de sorte qu’il existe un difféomorphisme

$$f_1:\Sigma_1'\longrightarrow\Sigma_2'$$

entre ces variétés (de dimension $n-1$). Soit $M_1$ la variété quotient

$$N/(\Sigma_1'=_{f_1}\Sigma_2') .$$

Le lemme suivant fournit un critère pour que les variétés $M_0$ et $M_1$ soient difféomorphes.

Lemme

Supposons qu’il existe un difféomorphisme $g$ de $N$ tel que $g(\Sigma_i)=\Sigma_i'$, pour $i=1,2$, et tel que $g\circ f_0\circ g^{-1}(z)=f_1(z)$ pour tout $z\in\Sigma_1'$. Alors les variétés $M_0$ et $M_1$ sont difféomorphes.

Démonstration. Le difféomorphisme $g$ induit par construction un difféomorphisme des variétés quotients car si

$$\Sigma_1\ni x\sim y=f_0(x)\in\Sigma_2$$

alors

$$\Sigma_1'\ni z=g(x)\sim w=f_1(z)=g\circ f_0\circ g^{-1}(z)=g\circ f_0(x)=g(y)\in\Sigma_2'$$

par définition de $g$.

C.Q.F.D.

$$ $$

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Un second lemme de recollement

On peut également se demander à quel point la variété $M_0$ dépend du difféomorphisme $f_0$ ; cela revient à considérer le cas où $\Sigma_1=\Sigma_1'$, $\Sigma_2=\Sigma_2'$ mais où $f_1$ est différent de $f_0$.

On dit que $f_0$ et $f_1$ sont isotopes, ou difféotopes, s’il existe une application lisse

$$H : \Sigma_1 \times [0,1] \to \Sigma_2$$

telle que :

  1. pour tout $x \in \Sigma_1$, on a $H(x,0) = f(x)$,
  2. pour tout $x \in \Sigma_2$, on a $H(x,1) = g(x)$, et
  3. pour tout $t \in [0,1]$, l’application $\Sigma_1 \to \Sigma_2$, $x\mapsto H(x,t)$ est un difféomorphisme.

On a alors le résultat suivant.

Lemme

Supposons $\Sigma_1=\Sigma_1'$, $\Sigma_2=\Sigma_2'$. Si $f_0$ et $f_1$ sont isotopes (difféotopes) alors les variétés $M_0$ et $M_1$ sont difféomorphes.

Démonstration. On considère dans $N$ des voisinages produits $U_i\cong [0,1]\times \Sigma_i$, pour $i=1,2$, tels que $\Sigma_i$ est identifiée avec $\{1\}\times \Sigma_i$ et $U_1\cap U_2=\emptyset$. Soit

$$\varphi_t: = f_0^{-1} \circ H ( \cdot , t) : \Sigma_1\longrightarrow \Sigma_1.$$

Pour tout $t\in[0,1]$, $\varphi_t$ est un difféomorphisme de $\Sigma_1$ tel que $\varphi_0$ est l’identité et $f_0\circ\varphi_1=f_1$. On définit un difféomorphisme $g$ de $N$ de la façon suivante :

  • sa restriction à $N\setminus(U_1\cup U_2)$ est l’identité,
  • sa restriction à $U_1$ est définie par

    $$(t,x)\mapsto(t,\varphi_t(x)),$$

  • sa restriction à $U_2$ est défine par

    $$(t,y)\mapsto(t,y).$$

Il est facile de voir que $g$ induit un difféomorphisme entre $M_1$ et $M_0$, car si

$$x\in\Sigma_1 \mbox{ et } y=f_1(x)\in\Sigma_2$$

alors

$$g(x)=\varphi_1(x) \mbox{ et } g(y)=y=f_0\circ\varphi_1(x)=f_0\circ g(x).$$

C.Q.F.D.

$$ $$