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Fibrés en cercles et fibrés de Seifert

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Herbert Seifert (1907 - 1996).

Les fibrés de Seifert constituent une large classe de variétés de dimension 3, qui englobe de nombreux exemples que nous avons vus ailleurs. Les suspensions du tore par un homéomorphisme unipotent, les espaces lenticulaires, ainsi que les sphères de Brieskorn et en particulier la sphère d’homologie de Poincaré sont des exemples de fibrés de Seifert.

La notion de fibré de Seifert généralise celle de fibré en cercles en autorisant des « fibres singulières ». Elle a été introduite par Seifert qui a classifié ces espaces dans un article de 1933 [1]. Le premier article de cette rubrique présente ces notions.

Orlik, Vogt et Zieschang ont montré que les fibrés de Seifert sont presque tous classifiés par leur groupe fondamental [2]. Leur théorème peut s’énoncer ainsi :

Théorème

Soient $M$ et $N$ deux fibrés de Seifert compacts dont le groupe fondamental est infini. Si leurs groupes fondamentaux sont isomorphes, alors $M$ et $N$ sont isomorphes en tant que fibrés de Seifert, et en particulier homéomorphes.

Ce résultat a ensuite été complété par un théorème de Scott selon lequel une variété compacte de dimension 3 dont le groupe fondamental est infini et isomorphe à celui d’un fibré de Seifert est elle-même un fibré de Seifert [3]. Nous montrons ici un cas particulier du théorème d’Orlik—Vogt—Zieschang : les fibrés en cercles sont classifiés par leur groupe fondamental.

Dans un autre article, nous donnons plusieurs exemples de fibrés de Seifert. On y trouve en particulier les espaces lenticulaires et les sphères de Brieskorn. Les espaces lenticulaires ne sont pas concernés par le théorème d’Orlik—Vogt—Zieschang. Ce sont d’ailleurs les premiers exemples de 3-variétés compactes dont la topologie n’est pas déterminée par le groupe fondamental.

Enfin, Scott a montré que les fibrés de Seifert sont tous géométrisables [4]. On trouvera ici deux cas particuliers de ce théorème : le cas des fibrés en cercles au dessus d’un tore et celui de la sphère de Brieskorn $\Sigma(2,3,5)$.


[1Herbert Seifert, Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume, Acta Mathematica 60(1), 1933, 147-238. Une traduction anglaise faite par W. Heil est parue dans le livre : Herbert Seifert, William Threlfall, Seifert and Threllfall : a textbook of topology, Pure and Applied Mathematics, Academic Press Inc (1980), vol. 89.

[2P. Orlik, E. Vogt & H. Zieschang, Zur Topologie gefaserter dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, Topology 6(1),1967, 49-64.

[3Peter Scott., There are no fake Seifert fibre spaces with infinite $\pi_1$, Annals of Mathematics, 1983, p. 35-70.

[4Peter Scott, The geometries of 3-manifolds, Bulletin of the London Mathematical Society 15(5), 1983, p. 401-487.