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Recollements du cube

Dès le §10 de l’Analysis Situs Poincaré propose une méthode générale de construction de variétés comme recollement de polyèdres (voir ici pour une description moderne). Une première classe d’exemples est obtenue en recollant entre-elles les faces d’un cube. Ces recollements permettent d’obtenir des exemples riches et intéressants de variétés de dimension 3 : le tore $\mathbb T^3$, l’espace projectif $\mathbb R P^3$, des suspensions du tore, la variété hypercubique, la somme connexe de deux espaces projectifs... Le principe général du recollement est détaillé dans le cours filmé ci-dessous.

Détaillons un peu le principe général des recollements du cube. Considérons donc le cube $C=[-1,1]^3$ dans $\mathbb{R}^3$ et notons $X^-$, $X^+$, $Y^{-}$, $Y^+$, $Z^-$ et $Z^{+}$ les faces de $C$ contenues dans les plans de $\mathbb{R}^3$ d’équations $x=-1$, $x=1$, $y=-1$, $y=1$, $z=-1$ et $z=1$. Un recollement du cube est obtenu en considérant l’espace topologique obtenu en identifiant les faces opposées de $C$ par une translation composée avec une rotation d’angle $0$, $\frac\pi2$, $\pi$ ou $\frac{3\pi}2$. Voici un exemple d’identification des faces $X^-$ et $X^+$ associé à l’angle $\pi/2$ (tiré de cet article) .

Et voici un exemple illustrant les identifications des arêtes et sommets, toujours tiré de l’article sur la variété hypercubique. Toutes les identifications sont associées à des rotations d’angle $\pi/2$.

Un recollement est donc décrit par un triplet $(a,b,c)$ d’entiers valant $0$, $1$, $2$ ou $3$ : $a\frac{\pi}{2}$ est l’angle du recollement de $X^-$ sur $X^+$, $b\frac{\pi}{2}$ celui du recollement de $Y^-$ sur $Y^+$ et enfin $c\frac{\pi}{2}$ pour $Z^-$ sur $Z^+$. On note un tel recollement $K_{abc}$ (ou $K_{a\pi/2,b\pi/2,c\pi/2})$.

Tous ces recollements ne donnent pas des variétés. Un critère général pour reconnaître une 3-variété obtenue par recollement est présenté . L’article sur la variété hypercubique donne également une preuve imagée de ce critère dans un cas particulier .

Les exemples de Poincaré

Poincaré s’intéresse à quatre exemples particulier de recollements du cube dans le §10 de l’Analysis Situs. Ces exemples sont détaillés dans des articles séparés.
Le premier de ces exemples est le tore $\mathbb T^3$, que l’on décrit dans l’article

Le second exemple n’est pas une variété, on le détaille dans l’article

Le troisième exemple, particulièrement instructif, peut servir d’introduction à l’étude de la variété dodécaédrique de Poincaré. Il s’identifie au quotient de $\mathbb{S}^3$ par un groupe à huit éléments.

Enfin, le quatrième exemple est une suspension d’un homéomorphisme linéaire du tore. On le détaille dans l’article

Notons que l’espace projectif, qui constitue l’exemple 5 de Poincaré, s’obtient également comme recollement du cube. Curieusement, Poincaré le présente comme un recollement du dodécaèdre.

Dans ces articles, nous décrivons systématiquement le groupe fondamental de chacun de ces exemples. Dans l’Analysis Situs, Poincaré donne en fait une méthode générale pour obtenir une présentation du groupe fondamental d’un recollement de polyèdre. Nous expliquons cette méthode dans l’article « Groupe fondamental d’une variété polyédrique ».

Autres recollements

Essayons maintenant de comprendre tous les exemples non étudiés par Poincaré.

Il existe a priori $4^3=64$ recollements $K_{abc}$ possibles. En utilisant les symétries du cube, on y ramène l’étude à celle de $13$ triplets $abc$. On peut ensuite utiliser le critère (propre à la dimension 3) démontré ici selon lequel, un tel recollement donne une variété si et seulement si sa caractéristique d’Euler est nulle. Il s’en suit que parmi les $13$ triplets, $7$ seulement mènent à des variétés. Il s’agit de $K_{0,0,0}$, $K_{0,0,\pi/2}$, $K_{0,0,\pi}$, $K_{0,\pi,\pi}$, $K_{\pi/2,\pi/2,\pi/2}$, $K_{\pi/2,\pi,\pi}$ et $K_{\pi,\pi,\pi}$. On retrouve les trois exemples déjà étudiés par Poincaré. Plus précisément,

  • $K_{0,0,0}$ (c’est $\mathbb T^3$), $K_{0,0,\pi/2}$ et $K_{0,0,\pi}$ sont des suspensions du tore. Les deux premiers exemples ont été étudiés par Poincaré.
  • $K_{\pi/2,\pi/2,\pi/2}$ est la variété hypercubique étudiée par Poincaré
  • $K_{\pi,\pi,\pi}$ est homéomorphe à $\mathbb RP^3$
  • $K_{0,\pi,\pi}$ et $K_{\pi/2,\pi,\pi}$ sont plus difficiles à identifier et sont le sujet principal de la vidéo suivante. On y explique en particulier pourquoi $K_{0,\pi,\pi}$ est homéomorphe à la somme connexe de deux $\mathbb RP^3$ et comment voir cette variété comme le quotient de $S^2\times \mathbb R$ sous l’action d’un groupe (le groupe fondamental de $K_{0,\pi,\pi}$).