Nous présentons ici une famille intéressante de variétés de dimension $3$ : les sphères de Brieskorn. Elles doivent leur nom à Egbert Brieskorn et à l’un de ses articles de 1966 [1]. Dans celui-ci, il examine les bords des singularités à l’origine des hypersurfaces algébriques de $\mathbb{C}^n$ définies par des équations de la forme :
$$z_1^{a_1} + z_2^{a_2} + \cdots + z_n^{a_n} =0$$
les exposants étant des entiers $\geq 2$. Par définition, ces bords (ou links) sont les variétés lisses que l’on obtient en intersectant l’hypersurface avec une petite sphère centrée à l’origine.
Brieskorn détermine en fonction des exposants dans quel cas ces bords sont homéomorphes à des sphères standard, et dans quel cas il s’agit de sphères exotiques, c’est-à-dire de variétés homéomorphes mais pas difféomorphes à des sphères standard. Un ingrédient essentiel de ses preuves est la détermination du polynôme caractéristique de la monodromie associée à l’hypersurface, faite par Frédéric Pham dans un article de 1965 [2].
Pour ces raisons, les singularités de ce type sont connues habituellement sous le nom de singularités de Pham-Brieskorn.
Restreignons-nous à présent au cas où $n=3$ :
Soient $p,q,r$ trois entiers supérieurs à $2$ et premiers entre eux deux à deux. La sphère de Brieskorn $\Sigma(p,q,r)$ est l’intersection dans $\mathbb{C}^3$ de la sphère $\mathbb{S}^5$ avec la surface complexe d’équation $z_1^p+z_2^q+z_3^r=0$.
Une des raisons de s’intéresser aux sphère de Brieskorn est qu’elles forment une famille infinie de sphères d’homologie. Plus précisément, pour tous les triplets $(p,q,r)$ vérifiant les hypothèses de la définition précédente, l’homologie de la sphère de Brieskorn $\Sigma(p,q,r)$ est identique à celle de la sphère $\mathbb{S}^3$.
Nous expliquons également dans cette rubrique que la sphère d’homologie de Poincaré s’identifie à la sphère de Brieskorn $\Sigma(2,3,5)$. L’argument est emprunté à un article de Milnor de 1975 [3]. Milnor montre plus généralement que les sphères de Brieskorn sont toutes des quotients d’un groupe de Lie de dimension $3$ par un réseau cocompact, ce qui constitue un exemple non trivial de géométrisation.
Les sphères de Brieskorn font quelques autres apparitions sur ce site, comme exemples de fibrés de Seifert ou comme exemples de revêtements ramifiés de $\mathbb{S}^3$ au dessus de nœuds toriques. On trouve ici une vidéo expliquant que la sphère d’homologie de Poincaré est aussi un revêtement ramifié au dessus d’un nœud torique, ce qui donne une autre façon de l’identifier à $\Sigma(2,3,5)$.
Nous nous focalisons ici sur les sphère de Brieskorn de dimension $3$, mais, comme expliqué plus haut, leur définition se généralise aux dimensions supérieures et fournit des exemples de sphères exotiques. On peut trouver une bibliographie exhaustive concernant les sphères exotiques sur la page internet d’Andrew Ranicki et un récit passionnant de la manière dont Brieskorn a fait ses découvertes dans son article de souvenirs Singularities in the work of Friedrich Hirzebruch, paru dans Surveys in Differential Geometry 7, Int. Press, Sommerville, MA (2000), p. 17–60.
Notons par exemple qu’à la dernière page de son exposé [4] au séminaire Bourbaki de 1962, Hirzebruch note que la variété $\Sigma(2,3,5)$ (vue comme « surface de Riemann généralisée » de la fonction algébrique à deux variables $(z_1^3 + z_2^5)^{1/2}$) est difféomorphe au quotient de la sphère de dimension trois par le groupe binaire icosaédrique, ou groupe des icosions. Et Hirzebruch était à ce moment-là le directeur de thèse de Brieskorn ...
[1] Il s’agit de Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten. Inventiones Mathematicae 2 No. 1 (1966), p. 1-14.
[2] Il s’agit de Formules de Picard-Lefschetz généralisées et ramification des intégrales, Bulletin de la Société Mathématique de France 93 (1965), 333–367.
[3] Il s’agit de On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M (p, q, r). Dans Knots, groups and 3-manifolds (Papers dedicated to the memory of R. H. Fox), pp. 175–225. Ann. of Math. Studies, No. 84, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1975.
[4] Il s’agit de The topology of normal singularities of an algebraic surface. Séminaire Bourbaki, 8 (1962-1964), Exposé No. 250, 9 p.