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Homologie des sphères de Brieskorn

Le but de cet article est de montrer que de nombreuses sphères de Brieskorn sont des sphères d’homologie entière.

Soient $p$, $q$ et $r$ trois entiers supérieurs à $2$. On dénote par $\Sigma(p,q,r)$ la sphère de Brieskorn de paramètres $p$, $q$ et $r$, c’est-à-dire l’intersection dan $\mathbb{C}^3$ de la sphère $\mathbb{S}^5$ avec la surface complexe d’équation

$$z_1^p + z_2^q+z_3^r~.$$

Nous prouvons ici le résultat suivant :

Théorème (Brieskorn)

$$\mathrm{H}_1\left(\Sigma(p,q,r), \mathbb{Z}\right) = 0$$

dès que $p$, $q$ et $r$ sont deux à deux premiers entre eux.

La preuve de Brieskorn [1] consiste à calculer la cohomologie du complémentaire de $\Sigma(p,q,r)$ dans $\mathbb{S}^5$ et à en déduire l’homologie de $\Sigma(p,q,r)$ grâce à la dualité d’Alexander. La cohomologie de $\mathbb{S}^5\backslash \Sigma(p,q,r)$ s’obtient en utilisant le fait que cette variété fibre au dessus du cercle (c’est un cas particulier de la fibration de Milnor).

Nous proposons ici une preuve plus « élémentaire ».

Démonstration du théorème de Brieskorn. On suppose dorénavant que $p$, $q$ et $r$ sont deux à deux premiers entre eux.

Rappelons que le groupe $\mathbb{U}^1$ des nombres complexes de module $1$ agit sur $\Sigma(p,q,r)$ par

$$w\cdot (z_1,z_2,z_3) = (w^{qr}z_1, w^{pr}z_2, w^{pq} z_3)~,$$

munissant la sphère de Brieskorn d’une structure de fibré de Seifert.

Comme expliqué ici, ce fibré de Seifert possède trois fibres singulières qui sont les intersections de $\Sigma(p,q,r)$ avec les plans d’équation $z_1=0$, $z_2=0$ et $z_3=0$. En enlevant un voisinage saturé de chaque fibre singulière, on obtient un fibré en cercle au dessus d’une surface $S$ homéomorphe à une sphère privée de trois disques. Comme $S$ se rétracte sur un bouquet de cercles, ce fibré en cercles est trivial.

Notons $a_1$, $a_2$ et $a_3$ les composantes de bord de $S$. Il découle de ce que nous venons de dire que $\Sigma(p,q,r)$ est obtenue à partir de $S\times \mathbb{S}^1$ en recollant trois tores solides $T_1$, $T_2$ et $T_3$ le long de $a_1\times \mathbb{S}^1$, $a_2 \times \mathbb{S}^1$ et $a_3 \times \mathbb{S}^1$. La suite exacte de Mayer-Vietoris nous permet alors de prouver que $H_1(\Sigma(p,q,r), \mathbb{Z})$ est engendré par $[a_1], [a_2], [a_3]$ et $[t]$, où $[t]$ désigne la classe d’homologie d’une fibre régulière.

Considérons

$$P_1 = \{(z_1,z_2, z_3)\in \Sigma(p,q,r) \mid z_1 \in \mathbb{R}^+\}~.$$

En dehors de la fibre singulière $l_1$ d’équation $z_1= 0$, $P_1$ est une surface lisse transverse aux fibres de la fibration de Seifert. Comme l’application

$$(z_1,z_2,z_3) \mapsto z_1$$

restreinte à $\Sigma(p,q,r)$ est une submersion au voisinage de $l_1$, on a

$$\partial P_1 = l_1~.$$

La fibre singulière $l_1$ forme ainsi le bord d’une surface et sa classe d’homologie est donc triviale. Or, $[l_1]$ engendre l’homologie du tore solide $T_1$ qui contient $a_1$ et $t$. Par conséquent, $a_1$ et $t$ sont également triviaux en homologie.

On montre de la même façon que $a_2$ et $a_3$ sont triviaux en homologie. Comme $[a_1]$, $[a_2]$, $[a_3]$ et $[t]$ engendrent $H_1(\Sigma(p,q,r),\mathbb{Z})$, on obtient donc

$$H_1(\Sigma(p,q,r),\mathbb{Z}) = 0~.$$

C.Q.F.D.

Comme $\Sigma(p,q,r)$ est orientable on a par ailleurs $H_0(\Sigma(p,q,r),\mathbb{Z}) \simeq H_3(\Sigma(p,q,r),\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$, et la dualité de Poincaré implique que $H_2(\Sigma(p,q,r),\mathbb{Z})$ est également nul. La sphère de Brieskorn $\Sigma(p,q,r)$ est donc bien une sphère d’homologie   entière. Nous prouvons ici que la sphère de Brieskorn $\Sigma(2,3,5)$ n’est autre que la variété dodécaédrique de Poincaré.


[1BRIESKORN, Egbert. Beispiele zur differentialtopologie von singularitäten. Inventiones mathematicae, 1966, vol. 2, no 1, p. 1-14.