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La théorie de Morse

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Marston Morse (1892-1977)

Étudier la topologie d’une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d’une fonction définie sur cette variété, c’est tout l’objet de la « théorie de Morse », une théorie nommée en l’honneur du mathématicien américain Marston Morse et qui regroupe un ensemble de techniques et de méthodes essentiellement mises en place durant la seconde moitié du XX$^e$ siècle. Les idées clefs sont néanmoins déjà présentes chez Poincaré, et sont à la base de la construction de sa fameuse sphère d’homologie dans le cinquième complément à l’Analysis Situs.

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Arthur Cayley (1821-1895)

Un peu d’histoire

Commençons par un avertissement : en mathématiques, la « théorie de X » n’est que rarement issue des seules réflexions de X. Au XVIII$^e$ siècle, Arthur Cayley et James Clerk Maxwell avaient déjà développé certaines des idées de la théorie de Morse pour des applications en topographie. Quant à Poincaré, il l’utilise dans son cinquième complément à l’Analysis Situs, comme si cette dernière était bien connue depuis fort longtemps !

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James Clerk Maxwell (1831-1879)

Parmi les applications de sa théorie, notons que Morse entreprit une étude approfondie des géodésiques comme points critiques de la fonctionnelle d’énergie sur l’espace des chemins. À partir des travaux de Morse, Raoul Bott démontra quant à lui son célèbre théorème de périodicité. Mentionnons enfin que pour les variétés complexes, un avatar holomorphe de la théorie de Morse est connu sous le nom de « théorie de Picard-Lefschetz », et qu’en dimenson infinie c’est l’homologie de Floer qui prend le relais.

L’article suivant introduit la théorie de Morse et en retrace l’histoire.

Existence d’une fonction de Morse et conséquences

L’idée de base de la théorie de Morse est la suivante : la donnée d’une fonction (lisse) sur une variété décompose celle-ci en « lignes » de niveau, de formes variées, et comprendre l’évolution de la topologie de ces niveaux lorsque l’on balaye l’intervalle des valeurs prises par la fonction doit nous donner des informations sur la topologie de la variété elle-même.

Pour une présentation très visuelle de la théorie sur un exemple simple (le tore de dimension 2) on pourra commencer par l’article :

Strictement parlant, c’est plutôt aux sous-niveaux que l’on s’intéresse, c’est-à-dire à l’ensemble des points où la fonction est inférieure ou égale à une valeur donnée. On remarque d’abord que lorsque l’on balaye un intervalle sans valeurs critiques, la topologie des sous-niveaux ne change pas. Il s’agit ensuite de comprendre ce qui se passe lorsque l’on franchit une valeur critique.

Cela peut être infiniment compliqué en général, c’est pourquoi on se restreint aux fonctions de Morse, i.e. aux fonctions dont tous les points critiques sont non-dégénérés. On dispose alors du Lemme de Morse, qui affirme qu’au voisinage de chaque point critique, dans de bonnes coordonnées, la fonction s’exprime simplement comme une forme quadratique non-dégénérée, dont la forme des (sous-)niveaux, pour le coup, est bien connue.

On peut alors déduire l’effet global du franchissement d’une valeur critique sur la topologie des sous-niveaux entiers : le sous-niveau « supérieur » est homéomorphe à « l’inférieur » auquel on a attaché des anses, d’indices ceux des points critiques correspondant. En termes de type d’homotopie, le franchissement d’une valeur critique revient à attacher des cellules, de dimensions respectives les indices des points critiques correspondant. Cette idée est déjà bien présente chez Poincaré. Tout ceci est détaillé dans l’article :

Bien sûr, pour faire fonctionner la théorie, il est important de savoir que toute variété possède une fonction de Morse (et en possède même beaucoup).

Conséquences sur la topologie des variétés

On peut alors déduire des résultats généraux remarquables sur la topologie des variétés. Notamment, toute variété fermée possède une décomposition en anses. En dimension $2$, on en déduit une preuve de la classification topologique des surfaces, et en dimension $3$, ce résultat s’affine en l’existence de scindements de Heegaard pour toute variété fermée. Tout ceci fait l’objet de l’article :

L’énoncé « homotopique » correspondant est : toute variété peut être munie d’une structure de CW-complexe, dont le nombre et les dimensions des cellules sont donnés par le nombre et les indices des points critiques d’une fonction de Morse donnée. Il en résulte des relations entre ces nombres et les nombres de Betti de la variété appelées inégalités de Morse.

Pour aller plus loin et comprendre complètement l’homologie de la variété en question, il faudrait en outre comprendre la façon dont les cellules évoquées sont attachées. Cela nécessite de prendre en compte non-seulement les points critiques mais aussi les trajectoires de gradient (pour une métrique convenable), et notamment la combinatoire selon laquelle elles relient les points critiques. C’est l’idée de l’homologie de Morse, dont le complexe et l’application de bord sont définis à partir de ces objets, et dont on montre qu’elle est isomorphe à l’homologie (cellulaire, simpliciale, singulière...) de la variété (ce qui redonne en particulier les inégalités de Morse). Toutes ces considérations font l’objet de l’article :

En fait, il y a un aspect purement algébrique dans les inégalités de Morse, valable pour tout complexe d’espaces vectoriels. Nous expliquons cela dans l’article :