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Dans cet article, on déduit la suite de Mayer-Vietoris du théorème des petites chaînes. C’est un outil puissant qui, comme le théorème de Van Kampen pour le groupe fondamental, permet de calculer les groupes d’homologie d’un espace topologique en le décomposant en morceaux plus simples. Plus précisément, la suite relie les groupes d’homologie de l’espace aux groupes d’homologie d’une paire de sous-espaces qui le couvrent par une suite exacte. On trouvera ici différents exemples de calculs de groupes d’homologie l’aide de la suite de Mayer-Vietoris. Dans cet article, on applique la suite de Mayer-Vietoris à l’étude de la caractéristique d’Euler-Poincaré.
La suite de Mayer-Vietoris
Soient $X$ un espace topologique et $U$, $V$ deux ouverts de $X$ recouvrant $X$.
Il existe une suite exacte longue de modules, dite suite exacte de Mayer-Vietoris de $X$,
$$ \ldots \to H_i (U) \oplus H_i (V) \stackrel{(1)}{\to} H_i (X) \stackrel{(2)}{\to} H_{i-1} (U \cap V) \stackrel{(3)}{\to} H_{i-1} (U) \oplus H_{i-1} (V) \to \ldots $$
Démonstration. Commençons par expliciter les morphismes $(1)$, $(2)$ et $(3)$.
$(1)$ Soient $\alpha$ et $\beta$ des classes d’homologie dans $U$ et $V$. L’inclusion de $U$ et $V$ dans $X$ les envoie sur des classes d’homologie $\alpha'$ et $\beta'$ dans $X$. Le morphisme $(1)$ associe à $\alpha \oplus \beta$ la classe $\alpha ' + \beta '$.
$(3)$ L’inclusion de $U \cap V$ dans $U$, resp. $V$, induit une application $\iota_U : H_{\bullet} (U \cap V) \to H_{\bullet} (U)$, resp. $\iota_V : H_{\bullet} (U \cap V) \to H_{\bullet} (V)$. Le morphisme $(3)$ est égal à $\iota_U \oplus (- \iota_V)$.
Le morphisme $(2)$ est moins naturel, il s’obtient en composant trois applications : d’abord l’application naturelle
$$H_i (X) \to H_i (X , V),$$
puis l’isomorphisme
$$H_i (X , V)\simeq H_i(X^{\{U,V\}},V)=H_i (U , U \cap V)$$
donné par le théorème des petites chaînes appliqué au recouvrement $X=U \cup V$, et enfin le morphisme « de bord »
$$\delta : H_i (U , U \cap V) \to H_{i-1} (U \cap V)$$
de la suite exacte longue associée à la paire $(U, U \cap V)$.
L’exactitude de la suite de Mayer-Vietoris découle
- du théorème des petites chaînes appliqué au recouvrement $X=U \cup V$ qui montre que $H_\bullet^{\{U,V\}}(X)$ est isomorphe à $H_\bullet(X)$ ;
- de la suite exacte longue associée à la suite exacte courte
$$0 \to C_{\bullet} (U \cap V) \to C_{\bullet} (U) \oplus C_{\bullet} (V) \to C_{\bullet} (X^{\{ U, V \}})\to 0$$
il faut alors vérifier que le morphisme de bord de la suite exacte longue est bien le morphisme $(2)$.
C.Q.F.D.
$$ $$
Exemple. Appliquons la suite exacte de Mayer-Vietoris au recouvrement de $\mathbb{RP}^2= M\cup D$ où $M$ est une bande de Möbius et $D$ un disque. Leur intersection $M\cap D$ est une bande qui se rétracte par déformation sur le cercle obtenu en longeant le bord de la bande de Möbius.
On a donc $H_i(M\cap D) \cong H_i(M) \cong H_i(S^1)$. Comme $D$ est contractile, on obtient $H_{i>2}(\mathbb{RP}^2, \mathbb{F})=0$ et
$$ 0\to H_2(\mathbb{RP}^2) \to \mathbb{Z}\stackrel{\beta} \to \mathbb{Z}\to H_1(\mathbb{RP}^2) \to \mathbb{Z} \stackrel{\alpha}\to \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0. $$
L’application $\beta : H_1(M\cap D)\to H_1(M)\oplus H_1(D)$ correspond à la multiplication par $2$ dans $\mathbb Z$ car l’âme de $D\cap M$ est homotopie au lacet parcourant deux fois l’âme de $M$. Les termes de droite sont donnés par le calcul de $H_0$ ; on vérifie donc sans peine que $\alpha$ est injective. On obtient alors $H_0(\mathbb{RP}^2)= \mathbb{Z}$, $H_1(\mathbb{RP}^2)= \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $H_{2}(\mathbb{RP}^2)= 0$.
D’autres exemples sont présentés là.
Caractéristique d’Euler-Poincaré
La formule d’Euler-Poincaré conduit à introduire la définition suivant.
Soit $X$ un espace topologique dont les groupes d’homologie $\bigoplus_{i\geq 0} H_i(X)$ sont de type finis. Le $i$-ème nombre de Betti de $X$ est $b_i(X)=\mathrm{rang }(H_i(X))$ [1]. La caractéristique d’Euler-Poincaré de $X$ est $\chi(X)=\sum_{i\geq 0} (-1)^i b_i(X)$.
On déduit de la proposition ci-dessus le corollaire ci-dessous.
Soient $X$ un espace topologique et $U$, $V$ deux ouverts de $X$ recouvrant $X$. On suppose que les groupes d’homologie de $U$, $V$ et $U\cap V$ sont de type finis. Alors ceux de $X$ sont aussi de type fini et de plus
$$\chi (X) =\chi(U)+\chi(V)-\chi(U\cap V). $$
Démonstration. Par la suite exacte de Mayer-Vietoris, les groupes d’homologie de $X$ sont de type finis. Notons respectivement $r_i$, $k_i$ le rang et la dimension du noyau de
$$H_i (X) \stackrel{(2)}{\to} H_{i-1} (U \cap V)$$
$r^{\cup}_i$ et $k^{\cup}_i$ le rang et la dimension du noyau de
$$H_i (U) \oplus H_i (V) \stackrel{(1)}{\to} H_i (X).$$
On a alors $b_i(X)= r_i +k_i$, $b_i(U)+b_i(V)=r^{\cup}_i +k^{\cup}_i$ et, comme la suite de Mayer-Vietoris est exacte, $ b_i(U\cap V)= k^{\cup}_i + r_{i+1}$ et $r_i^{\cup}=k_{i}$. On obtient
$$ \begin{array}{ccl} \sum (-1)^i b_i(X)= \sum (-1)^i (r_i+k_i) & = & \sum (-1)^i (r_i -k_i^{\cup}) + \sum (-1)^i (r_i^{\cup} +k_i^{\cup}) \\ &= & -\sum (-1)^{i} (r_{i+1}+k_i^{\cup}) +\chi(U)+\chi(V) \\ &=& -\chi(U\cap V) + \chi(U)+\chi(V). \end{array} $$
C.Q.F.D.
$$ $$
[1] Pour plus d’information sur les groupes abéliens et les $\mathbb{Z}$-modules, voir par exemple Abstract Algebra de Dummit et Foote.