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L’homologie « à la Poincaré »

L’un des apports les plus importants du premier mémoire de Poincaré sur l’Analysis Situs est l’introduction du concept d’homologie. La définition de l’homologie des variétés que Poincaré esquisse dans ce mémoire a cependant été très rapidement abandonnée (et oubliée), au profit d’autres définitions plus commodes, mais selon nous moins intuitives. Nous allons tenter de « ressusciter » cette définition originelle.

Dans un premier temps, nous construisons une théorie homologique pour les variétés, en essayant de rester le plus fidèle possible aux définitions (imprécises, et sujettes à interprétations) esquissées par Poincaré dans l’Analysis Situs.

La définition des groupes d’homologie « à la Poincaré » d’une variété $X$ est très géométrique : elle n’utilise que les sous-variétés de $X$. En ce sens, elle est beaucoup plus naturelle que les définitions d’autres théories homologiques devenues classiques aujourd’hui. Hélas, elle pose un certain nombre de problèmes techniques, et n’est guère maniable [1]. Poincaré semble avoir pris rapidement conscience du caractère peu pratique de cette définition [2]. Ceci l’amène à introduire, dès le Premier Complément à l’Analysis Situs, une autre définition de l’homologie, plus combinatoire (donc certainement mieux adaptée aux calculs), mais moins naturelle (pour calculer l’homologie d’une variété, il faut choisir une décomposition polyédrale de la variété, et les groupes d’homologie semblent dépendre de cette décomposition). Il s’agit, à quelques détails près, de ce que l’on nomme aujourd’hui l’homologie polyédrale, que nos lecteurs pourront découvrir ici.


La suite de la rubrique est destinée aux lecteurs qui possèdent une certaine familiarité avec l’homologie singulière. Les autres sont invités à poursuivre leur découverte de l’homologie en se laissant guider par le parcours suggéré ici.


Nous nous attachons ensuite à démontrer que l’homologie à la Poincaré calcule — au moins pour les petits degrés — la même chose que d’autres théories homologiques plus familières. Concrètement, nous montrerons que les groupes d’homologie à la Poincaré d’une variété sont isomorphes à ses groupes d’homologie singulière, en petits degrés.

Ainsi, la construction originelle de Poincaré, aujourd’hui complètement oubliée, fournit (au moins en petit degré) les mêmes groupes d’homologie que les théories devenues classiques. Nous invitons (par provocation ?) les lecteurs familiers de l’homologie à lire le résultat évoqué ci-dessus « à l’envers » : rassurons-nous, l’homologie singulière est isomorphe à l’homologie à la Poincaré. L’homologie singulière, dont la définition est si abstraite, calcule donc bien ce que l’on pense — ou plutôt « ce que l’on veut » — : le nombre maximal de sous-variétés de dimension $p$ qu’on peut faire rentrer dans un variété $X$ sans qu’elles ne bordent une sous-variété de dimension $p+1$ !

Ne le cachons pas : la définition de l’homologie à la Poincaré porte le flan à de nombreuses critiques [3]. Nous n’avons absolument pas l’intention de promouvoir l’utilisation de l’homologie à la Poincaré, alors que d’autres (comme l’homologie simpliciale ou l’homologie singulière) sont tellement plus pratiques. Il n’empêche : il est parfois vivifiant de retourner aux sources !


[1Ainsi, un résultat aussi intuitif que la trivialité des groupes d’homologie de $\mathbb{R}^n$ est redoutablement délicat à démontrer rigoureusement. Poincaré ne songe même pas à prouver ce résultat crucial, tant il lui semble évident !

[2Il n’arrive manifestement pas à réparer sa « preuve » de l’égalité des nombres de Betti $b_p(X)$ et $b_{n-p}(X)$ d’une variété $X$ de dimension $n$. Voir ici, et .

[3Par exemple :

  • Il est quasiment impossible d’effectuer le moindre calcul en utilisant directement la définition de l’homologie à la Poincaré. Notamment, comme nous le verrons, démontrer que les groupes d’homologie à la Poincaré de $\mathbb{R}^n$ sont triviaux est d’une difficulté redoutable. On notera néanmoins que, une fois connue l’homologie de $\mathbb{R}^n$, l’on peut effectuer des calculs en utilisant des suites de Mayer-Vietoris comme pour les autres théories homologiques.
  • Alors qu’il s’agit de construire des invariants topologiques — c’est-à-dire invariants par homéomorphisme —, toute la construction utilise des objets lisses et des notions qui sont invariantes par difféomorphisme, mais certainement pas par homéomorphisme. On notera cependant qu’il s’agit, vis-à-vis de Poincaré, d’une critique anachronique. En effet, la topologie générale, les notions modernes de continuité, d’homéomorphismes, etc. n’existaient pas au moment où Poincaré écrit l’Analysis Situs. Ce que Poincaré appelle « homéomorphisme » est ce que nous appelons aujourd’hui difféomorphisme. Son but annoncé est d’attacher aux variétés des objets algébriques qui sont invariants par difféomorphisme. On remarquera également que l’homologie simpliciale souffre d’un défaut similaire : on construit des groupes d’homologie dont la définition dépend a priori d’un choix de triangulation ; ce n’est qu’a posteriori qu’on montre que les groupes d’homologie ainsi construits sont indépendants de la triangulation utilisée.
  • Dans notre construction de l’homologie à la Poincaré, l’ensemble des chaines de dimension $p$ ne sera pas un module libre. De nombreuses difficultés techniques en découlent (voir, par exemple, la preuve de la suite exacte de Mayer-Vietoris en homologie à la Poincaré ici). De plus, il est assez difficile d’avoir une image mentale claire des $p$-chaînes, puisque ce sont des classes d’équivalences. C’est tout de même paradoxal pour une théorie homologique qui se veut « au plus proche de l’intuition » !