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Comparaison entre homologie à la Poincaré et homologie singulière

Le but de cette rubrique est de démontrer que l’homologie à la Poincaré est isomorphe à l’homologie singulière [1] au moins en petit degré. Plus précisément, nous montrerons :

Nous allons maintenant démontrer que l’homologie à la Poincaré est isomorphe à l’homologie singulière en petit degré :

Théorème

Pour toute variété paracompacte [2] $X$ de dimension $n$, et pour tout entier naturel $p<\min(7,n)$, le groupe d’homologie à la Poincaré $\overline{H}{}_p^\square(X)$ et le groupe d’homologie singulière $\overline{H}{}_p^{Sing}(X)\simeq H_p^{Sing}(X)$ sont isomorphes [3].

De plus, il ne s’agit pas d’un isomorphisme abstrait : on l’obtient comme composée de deux morphismes explicites et naturels, qui relient respectivement l’homologie à la Poincaré à l’homologie non-singulière, et cette dernière à l’homologie singulière.

La preuve du théorème ci-dessus est longue est assez difficile.

Nous commençons par définir deux théories homologiques « intermédiaires », qui permettront de construire un pont entre l’homologie à la Poincaré et l’homologie singulière : l’homologie non-singulière, et l’homologie des simplexes plongés.

Homologie à la Poincaré, homologie des simplexes plongés, homologie non-singulière

Nous remarquons alors qu’il existe deux morphismes naturels « évidents », l’un de l’homologie non-singulière vers l’homologie à la Poincaré, et l’autre de l’homologie non-singulière vers l’homologie singulière. Nous montrons de plus que le premier est surjectif en degré $p<7$.

Morphismes entre homologie à la Poincaré, homologie des simplexes plongés, homologie non-singulière, homologie singulière

Puis, nous montrons, en suivant une preuve de J. Cerf, que l’homologie non-singulière (et donc aussi l’homologie à la Poincaré) de l’espace affine $\mathbb{R}^n$ est triviale (en degré $p < n$). C’est de loin l’étape la plus délicate.

Trivialité de l’homologie de l’espace affine I, Trivialité de l’homologie de l’espace affine II

Enfin, nous montrons que les groupes d’homologie à la Poincaré d’une variété de dimension $n$ sont isomorphes à ses groupes d’homologie singulière, en degré $p<\min(n,7)$.

Isomorphisme entre l’homologie à la Poincaré et l’homologie singulière

Cette dernière étape utilise une stratégie élaborée par J. Milnor qui repose essentiellement sur trois ingrédients :

  • toute variété s’écrit comme réunion d’ouverts homéomorphes à $\mathbb{R}^n$ ;
  • l’homologie singulière et l’homologie à la Poincaré de tout ouvert homéomorphe à $\mathbb{R}^n$ est triviale ;
  • les suites de Mayer-Vietoris permettent de calculer l’homologie d’une variété à partir de n’importe quel recouvrement ouvert.

[1et donc aussi à d’autres homologies classiques, par exemple l’homologie simpliciale (voir ici ou l’homologie cellulaire (voir ici)

[2Dans la suite, les variétés considérées seront toujours supposées paracompactes.

[3Le groupe d’homologie à la Poincaré $\overline{H}{}_p^\square(X)$ est défini dans cet article, et le groupe d’homologie singulière $\overline{H}{}_p^{Sing}(X)\simeq H_p^{Sing}(X)$ dans celui-là.