Poincaré consacre les premiers paragraphes de l’Analysis Situs à la définition du concept d’« homologie ». L’idée qui le guide est directement issue du concept d’ordre de connexion d’une surface (introduite par Riemann dans sa thèse), et des tentatives de généralisation de ce concept en toutes dimensions esquissées par Riemann et Betti. Nous commençons par décrire et analyser cette idée intuitive :
Puis nous entreprenons la construction formelle de groupes d’homologie, dans l’esprit des premiers paragraphes de l’Analysis Situs :