|
> Exemples de dimension 3 > Fibrés en cercles et fibrés de Seifert > Exemples de fibrés en cercles Exemples de fibrés en cercles |
Nous montrons dans la classification des fibrés en cercles que tout fibré en cercle sur une surface compacte peut être obtenu à partir du fibré trivial par une chirurgie de Dehn. Mais ce n’est la seule façon de les construire. Nous donnons ici plusieurs exemples de fibrés en cercles.
La sphère $\mathbb{S}^3$
Il existe une fibration célèbre de $\mathbb{S}^3$ sur $\mathbb{S}^2$ : la fibration de Hopf. Cette fibration est obtenue en quotientant
$$\mathbb{S}^3 = \{ (z_1,z_2) \in \mathbb{C}^2 \mid |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1 \}$$
par l’action de $\mathbb{U}^1$ donnée par
$$e^{i\theta} \cdot (z_1,z_2) = (e^{i\theta} z_1, e^{i\theta} z_2 )~.$$
Comme $\mathbb{S}^3$ est simplement connexe, cette fibration est de classe d’Euler $1$.
La suspension du tore par un isomorphisme nilpotent
Rappelons que la suspension d’un homéomorphisme $\phi$ du tore $\mathbb{T}^2$ est le quotient de $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$ par la transformation
$$(x,t) \sim (\phi(x),t+1)~.$$
La topologie de cette suspension ne dépend que de la classe d’isotopie de $\phi$. Nous allons montrer ici que la suspension de $\mathbb{T}^2$ par un isomorphisme unipotent est un fibré en cercles au dessus du tore.
La suspension du tore $\mathbb{T}^2$ par un automorphisme linéaire de matrice
$$ \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)$$
admet une structure de fibré de classe d’Euler $k$ au dessus d’un tore.
Démonstration. Soit $M$ le quotient de $\mathbb{R}^3$ par le groupe de transformations affines engendré par
$\tau_x: (x,y,z) \to (x+1, y ,z)~,$ $\tau_y: (x,y,z) \to (x,y+1,z)~,$ $n_k: (x,y,z) \to (x, y +k x, z+1)~.$
La projection
$$ (x,y,z) \to (x,z)$$
passe clairement au quotient en une fibration de $M$ sur $\mathrm{T}^2$. L’extension centrale de $\pi_1(M)$ associée est la suivante :
$$ 0 \to \mathbb{Z} \overset{i}{\to} \pi_1(M) \overset{\pi}{\to} \mathbb{Z}^2 \to 0~,$$
où $i$ envoie $1$ sur $\tau_y$ et où $\pi$ envoie $n_k$ sur $(1,0)$, $\tau_x$ sur $(0,1)$ et $\tau_y$ sur $(0,0)$.
On vérifie que
$$[n_k, \tau_x] = \tau_y^k~.$$
On en déduit que la classe d’Euler de cette extension centrale est égale à $k$.
C.Q.F.D.
Réciproquement, d’après la classification des fibrés en cercles, tout fibré en cercle au dessus du tore est homéomorphe à la suspension d’un tore par un homéomorphisme nilpotent. Ce sont les seuls fibrés en cercles non triviaux qui sont aussi des fibrés sur le cercle.
Le fibré unitaire tangent à une surface
Soit $S$ une surface compacte. Munissons-là d’une métrique riemannienne. Alors l’ensemble des vecteurs tangent à $S$ de norme $1$ forme un fibré en cercles au dessus de $S$, appelé fibré unitaire tangent. La classe d’isomorphisme de ce fibré ne dépend pas du choix de la métrique.
La classe d’Euler du fibré unitaire tangent à une surface $S$ est égale (en valeur absolue) à la caractéristique d’Euler de la surface.