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Revêtements ramifiés (cas général)

On définit ici une notion générale de revêtement ramifié entre deux variétés de dimension $n$, qui étend la définition donnée ici dans le cas des surfaces. Un tel revêtement est parfois appelé "revêtement ramifié cyclique", dans le sens où il est localement modelé sur l’application

$$\begin{array}{rcl} \mathbb{C} \times \mathbb{R}^{n-2}&\to& \mathbb{C}\times \mathbb{R}^{n-2}\\ (z,x) & \mapsto & (z^k,x)~. \end{array} $$

Définition (revêtement ramifié) Soit $X$ et $Y$ deux variétés et $f:X \to Y$ une application continue. On dit que $f$ est un revêtement ramifié si pour tout $y \in Y$, il existe
- un voisinage $U$ de $y$ et un homéomorphisme $\Psi: U \to V \subset \mathbb{C}\times \mathbb{R}^{n-2}$,
- une application $k$ de $F= f^{-1}(y)$ dans $\mathbb{N}\backslash \{0\}$,
- un difféomorphisme $\Phi$ de $f^{-1}(U)$ dans $V \times F$, tels que pour tout $x\in F$, en restriction à $V \times \{x\}$, on a

$$\Psi \circ f \circ \Phi^{-1}: (z,u,x) \mapsto (z^{k(x)},u)~.$$

On peut montrer que l’entier $k(x)$ ne dépend pas du choix des coordonnées locales $(U,\Phi)$ et $(V,\Psi)$. On l’appelle l’indice de ramification de $f$ en $x$. Si $k(x) = 1$, alors $f$ est un difféomorphisme local au voisinage de $x$. Si $k(x)>1$, on dit que $x$ est un point de ramification de $f$. On appelle lieu de ramification de $f$ l’image de l’ensemble des points de ramification. La forme locale d’un revêtement ramifié montre que le lieu de ramification de $f$ est une sous-variété de $Y$ de codimension $2$.

Enfin, si on note $Y_{reg}$ le complémentaire dans $Y$ du lieu de ramification de $f$ et $X_{reg} = f^{-1}(Y_{reg})$, on a, comme en dimension 2 :

Proposition

$$f: X_{reg} \to Y_{reg}$$

est un revêtement.

Exemples
Soit $F$ un polynôme à deux variables définissant une courbe $C$ lisse dans $\mathbb{C}^2$ et $X$ la surface complexe de $\mathbb{C}^3$ d’équation $z^2=F(x,y)$. L’application $f:X\to \mathbb{C}^2$ définie par $f(x,y,z)=(x,y)$ est un revêtement double ramifié au-dessus de la courbe complexe d’équation $F(x,y)=0$. Il s’agit de l’exemple traité par Poincaré dans le 3ème complément.

Nous donnons ici d’autres exemples en dimension $3$.

Classification des revêtements doubles ramifiés

On se donne une variété topologique orientée connexe et compacte $Y$ de dimension $n\geq 2$ et $C \subset Y$ une sous-variété orientée de codimension 2. On cherche à comprendre l’ensemble des revêtements doubles de $Y$ qui ramifient au-dessus de $C$. On notera $C=\bigcup_{i=1}^n C_i$ la décomposition de $C$ en composantes connexes. On note $[C]$ la classe d’homologie de $C$ dans $H_{n-2}(X,\mathbb{Z})$.

Théorème L’ensemble des classes d’isomorphismes de revêtements doubles de $Y$ ramifiés sur $C$ est
- vide si $[C]$ n’est pas divisible par 2 dans $H_{n-2}(X,\mathbb{Z})$
- un espace affine sur le groupe $H^1(X,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$ sinon.

Ce théorème généralise celui obtenu dans le cas des surfaces.

Démonstration. La preuve du deuxième point est la même que dans le cas des surfaces. Concentrons nous sur l’existence. Il s’agit de déterminer s’il existe un morphisme
$\rho:\pi_1(X \setminus C)\to \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ tel que l’image de tout lacet faisant un petit tour autour de n’importe quel point de $c \in C$ en restant dans $X \setminus C$ est non trivial.
Un tel morphisme représente une classe $[\rho]$ dans $H^1(X \backslash C, \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$. Ce groupe s’identifie par dualité de Poincaré à $H_{n-1}(X,C)$ et on note $\alpha$ le cycle relatif correspondant à $[\rho]$.

L’homologie de la paire $(X,C)$ s’inscrit dans la suite exacte suivante :

$$ H_{n-1}(X,C,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})\overset{\partial}{\to} H_{n-2}(C,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})\to H_{n-2}(X,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}) $$

L’hypothèse sur $\rho$ revient précisément à $\partial \alpha=[C]$. Par exactitude de la suite, on obtient que $\alpha$ existe si et seulement si $[C]=0$ dans $H_{n-2}(X,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$.

La formule des coefficients universels nous donne la suite exacte

$$0\to H_{n-2}(X,\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \to H_{n-2}(X,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})\to {\rm{Tor}}(H_{n-3}(X,\mathbb{Z}),\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})\to 0 $$

L’injectivité de la première flèche implique que $[C]=0$ en homologie modulo 2 si et seulement si $[C]$ est divisible par 2 en homologie entière.
C.Q.F.D.