Commentaire sur le §1 du second complément (Rappel des principales définitions)

Le premier paragraphe rappelle le cadre déjà établi dans le premier complément. Un polyèdre $P$ est une variété de dimension $p$ découpée en "éléments" (cellules) $a_i^q$ homéomorphes à des boules de dimension $0 \leq q \leq p$.

Les "congruences", notées

$$\sum a_i^q \equiv \sum a_j^{q-1}~,$$

signifient que la $q-1$-chaîne $\sum a_j^{q-1}$ est le bord (au sens combinatoire) de la $q$-chaîne $\sum a_i$, tandis que les "homologies", notées

$$\sum a_i^q \sim 0~,$$

signifient que la $q$-chaîne $\sum a_i^q$ est le bord d’une $q+1$-chaîne.

Le "polyèdre réciproque de $P$", noté $P'$ [1] est construit intuitivement de façon à ce qu’à chaque $q$-cellule $a_i^q$ de $P$ corresponde une $p-q$-cellule $b_i^{p-q}$ de $P'$.

Le nombre $N(V,V')$ compte le nombre d’intersections entre une $q$-chaîne de $P$ et une $n-q$-chaîne de $P'$, où une intersection est comptée positivement ou négativement suivant les orientations de $V$, $V'$ et $P$.

Enfin, le "tableau" $T_q$ est la matrice des coefficients $\epsilon_{ij}^q$, où $\epsilon_{ij}^q= \pm 1$ si $a_j^{q-1}$ est dans le bord de $a_i^{q}$ (le signe dépendant de l’orientation de $a_i^q$ et $a_j^{q-1}$) et $0$ sinon. Par construction du polyèdre dual, le tableau $T'_q$ associé au polyèdre $P'$ est la transposée du tableau $T_{p-q+1}$.

Remarquons que le tableau $T_q$ est la matrice de l’opérateur de bord

$$\partial: C_q(P) \to C_{q-1}(P)~.$$

Même si Poincaré ne l’exprime jamais ainsi, c’est de ce fait que découlent toutes les considérations ultérieures.