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Nous présentons sur cette page nos commentaires sur une section des Œuvres Originales de Poincaré : le paragraphe que nous commentons est accessible par ici.

Commentaires sur le §3 du second complément (Comparaison entre les tableaux $T_q$ et $T’_q$)

Dans le paragraphe 3, Poincaré utilise les résultats algébriques du paragraphe précédent pour expliquer clairement le rapport entre l’homologie rationnelle et l’homologie entière. L’homologie rationnelle ignore les invariants $d_i$ des tableaux $T_q$ qui sont les éléments de torsion. Cela permet à Poincaré de refaire un point sur la différence entre sa définition des nombres de Betti et celle utilisée par Heegaard dans son « contre-exemple » au théorème de dualité : cardinal de la plus petite famille génératrice versus cardinal de la plus grande famille libre (les deux définitions étant les mêmes pour l’homologie rationnelle, mais pas pour l’homologie entière, à cause de la présence d’éléments de torsion).

En termes modernes, la matrice d’incidence $T_q$ représente l’opérateur bord en restriction aux $q$-chaînes et on a $T_q T_{q+1}=0$. [1] Poincaré note $\alpha_q$ le nombre de $q$-faces du polyèdre $P$ (et donc la dimension du groupe des $q$-chaînes), $\gamma_q$ le rang de $T_q$ et $(\omega_i^{q})_{1\leq i \leq \gamma_q}$ les invariants de $T_q$. Le noyau de $T_q$ est donc un $\mathbb Z$-module libre de rang $\alpha_q-\gamma_q$ et l’image de $T_{q+1}$ en est un sous-$\mathbb Z$-module libre de rang $\gamma_{q+1}$. La forme normale de Smith permet de trouver une base $e_1, \ldots, e_{\alpha_q - \gamma_q}$ du noyau de $T_q$ telle que $\omega_1^{q+1} e_1, \ldots, \omega_{\gamma_{q+1}}^{q+1} e_{\gamma_{q+1}}$ est une base de l’image de $T_{q+1}$. On obtient alors

$$\mathrm{H}_q(P,\mathbb Z) \simeq \mathbb{Z}^{\alpha_q - \gamma_q - \gamma_{q+1}} \oplus \bigoplus_{i=1}^{\gamma_q} \mathbb{Z}/ \omega_i^{q+1} \mathbb{Z}~.$$

Lorsqu’on s’intéresse aux « homologies avec division », on obtient

$$\mathrm{H}_q(P,\mathbb{Q}) \simeq \mathbb{Q}^{\alpha_q - \gamma_q - \gamma_{q+1}}~.$$

Le $q$-ième nombre de Betti du polyèdre $P$ (noté $P_q$) est donc égal à $\alpha_q - \gamma_q - \gamma_{q+1} +1$ (avec la définition de Poincaré).

Par construction, le polyèdre $P'$ dual de $P$ possède $\beta_q = \alpha_{p-q}$ faces de dimension $q$. De plus, le tableau $T'_q$ est le transposé du tableau $T_{p-q+1}$. Il est donc de rang $\gamma_{p-q+1}$. On en déduit que

$$P'_q = P_{p-q}~.$$

Comme, par ailleurs, les nombres de Betti de $P$ et $P'$ sont les mêmes, Poincaré retrouve encore une fois son théorème de dualité.

Poincaré conclut ce paragraphe en définissant une variété sans torsion comme une variété telle que « les invariants de tous les tableaux sont égaux à $0$ ou $1$ », c’est-à-dire dont tous les groupes d’homologie à coefficients entiers sont libres.


[1C’est ce qu’on appelle un complexe de chaînes.