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Commentaires du deuxième complément

Dans le Second complément à l’Analysis Situs, paru le 14 juin 1900 [1], Poincaré affine encore sa description des groupes d’homologie d’une variété, dans le but de préciser et étendre le théorème de dualité, dont la preuve incorrecte donnée dans l’Analysis Situs avait soulevé les objections de Heegaard.

Cette étude le conduit à poser les base de la classification des groupes abéliens finiment engendrés, qui fait apparaître de nouveaux invariants topologiques : les coefficients de torsion. [2]

Le deuxième complément s’inscrit donc dans la continuité du premier complément, et le premier paragraphe commence par en rappeler le cadre et les notations.

Poincaré démontre un résultat classique d’algèbre linéaire sur $\mathbb{Z}$ parfois appelé théorème des facteurs invariants. Il semble ignorer que ce théorème a déjà été démontré par Henry Smith quarante ans plus tôt.

Dans le troisième paragraphe, fort des résultats algébriques précédents, Poincaré explique le rapport entre l’homologie rationnelle et l’homologie entière. Cela lui permet de revenir sur la différence entre sa définition des nombres de Betti et celle utilisée par Heegaard dans son « contre-exemple » au théorème de dualité : cardinal de la plus petite famille génératrice versus cardinal de la plus grande famille libre (les deux définitions étant les mêmes pour l’homologie rationnelle, mais pas pour l’homologie entière, à cause de la présence d’éléments de torsion). En fin du paragraphe, Poincaré revient avec des précisions sur la démonstration de son théorème de dualité concernant l’homologie rationnelle.

Dans le quatrième paragraphe, Poincaré calcule l’homologie entière (y compris la partie de torsion) de plusieurs exemples importants de variétés de dimension 3. Il s’agit des exemples introduits dans les paragraphes 10 et 11 de l’Analysis Situs qui sont obtenus en recollant de différentes manières les faces d’un cube ou d’un octaèdre et par des suspensions du tore. Il refait également ces calculs sur le « contre-exemple » de Heegaard.

Le but du cinquième paragraphe est de préciser le théorème de dualité en prenant en compte la partie de torsion dans l’homologie entière. Poincaré déduit le comportement suivant des coefficients de torsion $\mathrm{Tor}$ par dualité : pour tout polyèdre $P$ homéomorphe à une variété compacte sans bord orientable de dimension $p$, on a $\mathrm{Tor}\left(H_q(P,\mathbb{Z})\right) \simeq \mathrm{Tor}\left(H_{p-q-1}(P,\mathbb{Z})\right)~. $

Dans le sixième et dernier paragraphe du second complément à l’Analysis Situs, Poincaré donne une condition suffisante sur un polyèdre $P$ pour que ses groupes d’homologie entière ne contienne pas de torsion. En outre, Poincaré déduit dans ce paragraphe que le groupe d’homologie entière de degré $p-1$ d’une variété compacte orientable de dimension $p$ est nécessairement sans torsion.


[1Henri Poincaré, Second complément à l’Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32, 1900, p.277-308

[2Le $q$-ième groupe d’homologie d’une variété compacte $V$ est un groupe abélien de type fini. Il est donc de la forme

$$H_q(V,\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z}^{b_q} \oplus \bigoplus_{i=1}^{r_q} \mathbb{Z}/\omega_i^q \mathbb{Z}~.$$

Le nombre $b_q$ est le $q$-ième nombre de Betti et les $\omega_i^q$ sont appelés coefficients de torsion.