Nous proposons des commentaires sur deux des cinq Notes sur l’Analysis Situs publiées par Poincaré aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences.
Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres (1893)
Dans cette deuxième note parue le 17 juillet 1893, Poincaré généralisent à tous les polyèdres et en toute dimension, le célèbre résultat d’Euler qui affirme que dans un polyèdre convexe, le nombre des sommets, plus celui des faces, moins celui des arêtes est égal à deux. Il montre que la somme (indexée par la dimension) alternée du nombre de faces de dimension donnée sera toujours égale à $0$ dans le cas des polyèdres de dimension impaire et ce sera un nombre dépendent uniquement des invariants de Betti pour chaque polyèdre de dimension paire. Nous proposons aussi des commentaires sur cette note.
- Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres (1893)
- Commentaires Sur la généralisation d’un théorème d’Euler relatif aux polyèdres.
Sur les nombres de Betti (1899)
Cette note parue le 13 mars 1899 (juste avant la publication du premier complément à l’Analysis Situs) répond brièvement à une critique faite par le mathématicien danois Poul Heegaard concernant le théorème de dualité qui donne la symétrie des nombres de Betti pour une variété compacte. Poincaré explique comment sa définition des nombres de Betti diffère de celle adoptée originellement par Betti et soutient son résultat.
En termes modernes, Betti considère le nombre de générateurs du groupe d’homologie, tandis que Poincaré considère le rang de la partie libre du même groupe. La différence apparait lorsqu’il existe des éléments de torsion. Nous proposons aussi nos commentaires sur cette note.