§ 9. Intersection de deux variétés

Soient $V$ et $V'$ deux variétés définies à la seconde manière, ayant l’une $p$ dimensions, l’autre $n-p$ dimensions, et soient $M_0$ et $M_0'$ deux points appartenant respectivement à $V$ et à $V'$ et ayant respectivement pour coordonnées

$$x^0_1, x^0_2,\dots,x^0_n$$

et

$$x^{\prime\,0}_1, x^{\prime\,0}_2,\dots,x^{\prime\,0}_n.$$

Autour du point $M_0$, construisons sur $V$ une variété partielle $v$, analogue à celles que nous avons envisagées dans le paragraphe 3, de telle façon qu’en un point $x_1,x_2,\dots, x_n$ de $v$ on ait

$$x_i=\theta_i(y,y_2,\dots,y_p) \qquad (i=1,2,\dots,n).$$

 [1]

De même, autour de $M'_0$, construisons sur $V'$ une variété $v'$ telle qu’en un point $x'_1,x'_2,\dots, x'_n$ de $v'$ on ait

$$x'_i=\theta'_i(y'_1,y'_2,\dots,y'_{n-p}) \qquad (i=1,2,\dots,n).$$

Envisageons le déterminant

$$ \left\vert \begin{array}{cccc} \frac{d x_1}{d y_1}&\frac{d x_2}{d y_1} & \dots&\frac{d x_n}{d y_1}\\ \frac{d x_1}{d y_2}&\frac{d x_2}{d y_2} & \dots&\frac{d x_n}{d y_2}\\ \dots &\dots &\dots &\dots\\ \frac{d x_1}{d y_p}&\frac{d x_2}{d y_p} & \dots&\frac{d x_n}{d y_p}\\ \frac{d x'_1}{d y'_1}&\frac{d x'_2}{d y'_1} & \dots&\frac{d x'_n}{d y'_1}\\ \dots &\dots &\dots &\dots\\ \frac{d x'_1}{d y'_{n-p}}&\frac{d x'_2}{d y'_{n-p}} & \dots&\frac{d x'_n}{d y'_{n-p}}\\ \end{array} \right\vert $$

C’est une fonction de $y_1,y_2,\dots,y_p,y'_1,y'_2,\dots,y'_{n-p}$ ; cette fonction dépendra donc de la position des points $M$ et $M'$ de coordonnées $x_1,x_2,\dots, x_n$ et $x'_1, x'_2,\dots, x'_n$ sur les variétés $v$ et $v'$. Je l’appellerai donc $f(M,M')$.

Je puis changer de variables en remplaçant $y_1,y_2,\dots,y_p $ par des fonctions holomorphes de $p$ variables nouvelles $z_1,z_2,\dots,z_p $ choisies de telle sorte qu’à un système de valeurs de $y$ corresponde un seul système de valeurs des $z$. Il faut pour cela que le déterminant fonctionnel des $y$ par rapport aux $z$ ne s’annule pas et je puis toujours supposer, en rangeant les $z$ dans un ordre convenable, que ce déterminant est positif.

La fonction $f(M,M')$ est alors multipliée par ce déterminant fonctionnel et, par conséquent, conserve son signe.

Il en est encore de même quand on fait un changement de variables analogues sur la variété $v'$.

Considérons maintenant une autre variété $v_1$, analogue à $v$, construite sur $V$, et une variété $v'_1$, analogue à $v'$, construite sur $V'$.

Soit $M_1$ un point de $v_1$ et $M'_1$ un point de $v'_1$. Nous pourrons construire une fonction analogue à $f(M,M')$ et que j’appellerai $f_1(M_1,M'_1)$.

Supposons maintenant que les variétés $v_1$ et $v$ (de même que les variétés $v'_1$ et $v'$) aient une partie commune, et que les points $M$ et $M_1$ se confondent, de même que les points $M'$ et $M'_1$.

Comparons les fonctions

$$f(M,M'), \qquad f_1(M,M').$$

Supposons que les deux variétés $V$ et $V'$ soient bilatères. Nous pourrons supposer alors (en choisissant convenablement l’ordre des variables $y$ relatives à $v_1$), que le déterminant analogue à celui que nous avons appelé $\Delta$ dans le numéro 8, et relatif à $v$ et $v_1$ est positif dans la partie commune à $v$ et $v_1$ ; de même, le déterminant analogue à $\Delta$ et relatif à $v'$ et $v'_1$ sera également positif.

Alors $f$ et $f_1$ seront de même signe.

Soit alors $S(M,M')$ une fonction qui sera égale à $+1$, à $-1$ ou à $0$, selon que $f(M,M')$ sera positif, négatif ou nul. Cette fonction sera alors parfaitement déterminée, elle ne dépendra que de la position des points $M$ et $M'$ sur $V$ et $V'$ ; elle ne dépendra pas de la manière dont les variétés $v$ et $v'$ auront été construites autour de $M$ et de $M'$.

Cela ne serait plus vrai si l’une des variétés $V$ et $V'$ était unilatère, ce que je ne suppose pas.

Supposons, en particulier, que les points $M$ et $M'$ se confondent et, par conséquent, que le point $M$ soit un point d’intersection de $V$ et de $V'$, la considération de la fonction $S(M,M')$ présente alors un grand intérêt.

Supposons que l’on forme la fonction $S(M,M)$ pour tous les points d’intersection $M$ de $V$ et de $V'$, et faisons la somme de toutes les fonctions $S$ ainsi obtenues ; je désignerai cette somme par $N(V,V')$.

Cette définition de $N(V,V')$ s’applique quand les variétés $V$ et $V'$ ont été définies comme au numéro 3. Mais on peut la simplifier quand $V$ et $V'$ ont été définies comme au numéro 1.

Soient alors

$$F_\alpha=0, \qquad \varphi_\beta>0 \qquad (\alpha=1,2,\dots,p ;\; \beta=1,2,\dots,q)$$

les conditions qui définissent $V$, et soient

$$F'_\gamma=0, \qquad \varphi'_\delta>0 \qquad (\gamma=1,2,\dots,n-p ;\; \delta=1,2,\dots,q'),$$

celles qui définissent $V'$. $V$ aura $n-p$ dimensions et $V'$ en aura $p$.

Considérons un point $M$ de $V$ ayant pour coordonnées $x_1, x_2,\dots, x_n$ et un point $M'$ de $V'$ ayant pour coordonnées $x'_1, x'_2,\dots, x'_n$ et formons le déterminant

$$ \left\vert \begin{array}{cccccccc} \frac{d F_1}{d x_1}&\frac{d F_2}{d x_1} & \dots&\frac{d F_p}{d x_1} &\frac{d F'_1}{d x'_1}&\frac{d F'_2}{d x'_1} & \dots&\frac{d F'_{n-p}}{d x'_1}\\ \dots&\dots& \dots&\dots&\dots&\dots & \dots&\dots\\ \frac{d F_1}{d x_n}&\frac{d F_2}{d x_n} & \dots&\frac{d F_p}{d x_n} &\frac{d F'_1}{d x'_n}&\frac{d F'_2}{d x'_n} & \dots&\frac{d F'_{n-p}}{d x'_n} \end{array} \right\vert $$

que j’appellerai $\psi(M,M')$. Quelle relation y a-t-il entre $\psi(M,M')$ et $S(M,M')$ ?

Pour nous en rendre compte, posons

$$x'_i=x_i+h_i \qquad (i=1,2,\dots,n);$$

faisons ensuite varier à la fois les $x'_i$ et les $x_i$, mais de telle façon que leur différence $h_i$ demeure constante.

Posons

$$\begin{array}{rl} F_\alpha(x_i)&=y_\alpha,\\ F'_\gamma(x_i+h_i)&=y_\gamma. \end{array}$$

Si le déterminant $\psi(M,M')$ n’est pas nul, nous pourrons résoudre ces équations par rapport aux $x_i$ et nous en tirerons

$$x_i=\theta_i(y_\alpha,y'_\gamma).$$

Le déterminant fonctionnel des $\theta_i$ par rapport aux $y_\alpha$ et aux $y'_\gamma$ sera alors $\frac{1}{\psi(M,M')}$.

Si nous faisons $y_\alpha=0$, nous aurons

$$x_i=\theta_i(0,y'_\gamma);$$

ce sera là l’équation d’une variété à $n-p$ dimensions qui fera partie de $V$ ; de même en faisant

$$x'_i=h_i+\theta_i(y_\alpha,0),$$

on aura l’équation d’une variété à $p$ dimensions qui fera partie de $V'$.

Si l’on définit de la sorte les variétés $v$ et $v'$ du commencement de ce numéro, on voit que le déterminant fonctionnel des $\theta_i$ n’est autre chose que $f(M,M')$, d’où

$$f(M,M')\psi(M,M')=1.$$

Supposons maintenant que les deux variétés $V$ et $V'$ fassent toutes deux parties d’une variété $W$ d’un plus grand nombre de dimensions. Soient, par exemple,

$$ \tag{1} F_\alpha=0, \qquad \varphi_\beta>0 \qquad (\alpha=1,2,\dots,p ;\; \beta=1,2,\dots,q) $$

les relations qui définissent $W$ qui aura ainsi $n-p$ dimensions.

Soient

$$ \tag{2} F'_\gamma=0, \qquad \varphi'_\delta>0 \qquad (\gamma=1,2,\dots,p ;\; \delta=1,2,\dots,q') $$

les relations qui jointes à (1) définissent $V$ qui aura ainsi $n-p-p'$ dimensions.

Soient enfin

$$ \tag{3} F''_\epsilon=0, \qquad \varphi''_\zeta>0 \qquad (\epsilon=1,2,\dots,p'' ;\; \zeta=1,2,\dots,q'') $$

les relations qui jointes à (1) définiront $V'$ qui aura ainsi $n-p-p''$ dimensions. Je suppose $p+p'+p''=n$.

Soit $M$ un point d’intersection de $V$ et $V'$.

Je formerai le déterminant fonctionnel des $F_\alpha$, des $F'_\gamma$ et des $F''_\epsilon$ par rapport aux $x$, et ce sera ce déterminant que j’appellerai $\psi(M)$.

Alors $S(M)$ sera, par définition, égal à $+1$ ou à $-1$, selon que $\psi(M)$ sera positif ou négatif.

Je désignerai ensuite par $N(V,V')$ la somme de toutes les quantités $S(M)$ relatives à tous les points d’intersection de $V$ et $V'$.

Il est clair que, si l’une des variétés $V$ et $V'$ est remplacée par la variété opposée, l’expression $N(V,V')$ change de signe.

Soit maintenant $V$ une variété fermée à $1$ dimension et soit $W$ un domaine à $n$ dimensions dont la frontière complète se compose des variétés à $n-1$ dimensions

$$V_1,V_2,\dots, V_k,$$

de telle sorte que

$$V_1+V_2+\dots+ V_k\sim 0.$$

Je dis que

$$N(V,V_1)+N(V,V_2)+\dots+ N(V,V_k)=0.$$

En effet, la variété $V$ va se composer d’un certain nombre de variétés continues à $1$ dimension, c’est-à-dire d’un certain nombre de lignes fermées. Les équations d’une de ces lignes pourront se mettre sous la forme

$$x_i=\theta_i(t),$$

$t$ étant une variable que nous ferons croître de $-\infty$ à $+\infty$.

Comme la ligne est fermée, nous aurons

$$\theta_i(-\infty)=\theta_i(+\infty).$$

Envisageons maintenant un point $M$ d’intersection d’une de ces lignes avec la frontière de $W$ ; si, quand on fait croître $t$, cette ligne passe de l’intérieur de $W$ à l’extérieur, on aura

$$S(M)=1.$$

Si elle passe de l’extérieur à l’intérieur, $S(M)$ sera égal à $-1$. Mais la ligne étant fermée reviendra à son point de départ, de sorte que la somme de tous les $S(M)$ devra être nulle.

C. Q. F. D.

Supposons maintenant que toutes les variétés que nous envisageons et, par exemple, $V,W, V_1, V_2,\dots, V_k$ fassent partie d’une variété $U$ et que ce soit cette variété $U$ dont nous étudions les ordres de connexion et par rapport à laquelle nous prenons les homologies.

(Voici ce que je veux dire ; quand au numéro 5, j’ai défini les homologies, il y avait une certaine variété $V$ qui jouait dans cette définition un rôle important ; eh bien, c’est ici $U$ qui jouera ce rôle.)

Je suppose que $U$ ait $h$ dimensions, $V$ une dimension, $W$ $h$ dimensions, $V_1, V_2,\dots, V_k$ $h-1$ dimensions.

Il n’y a rien à changer à ce qui précède et l’on voit que, si $V$ est fermée et à une dimension et que

$$V_1+V_2+\dots+ V_k\sim 0,$$

on aura

$$N(V,V_1)+N(V,V_2)+\dots+ N(V,V_k)=0.$$

Je dis que cela est encore vrai si la variété à une dimension $V$ n’est plus fermée, mais a ses deux extrémités sur la frontière de $U$ et si $W$ n’a aucun point sur la frontière de $U$.

En effet, $U$ se trouve partagé en deux régions continues ou non, à savoir : $W$ et la région $R$ extérieure à $W$. Par hypothèse, la frontière de $U$ appartient tout entière à $R$.

La ligne $V$ n’étant pas fermée, le point initial correspondant à $t=-\infty$ ne coïncidera plus avec le point final correspondant à $t=+\infty$ ; mais, par hypothèse, ces deux points appartiennent tous deux à la frontière de $U$ et, par conséquent, à $R$.

Notre ligne passera donc précisément autant de fois de $R$ dans $W$ que de $W$ dans $R$ ; donc la somme des $S(M)$ est nulle.

C. Q. F. D.

Je vais maintenant établir la réciproque.

Soient $V_1, V_2,\dots, V_k,$ $k$ variétés fermées à $h-1$ dimensions situées dans $U$, $U$ n’ayant aucun point commun avec la frontière de $V_i$. Supposons que l’on n’ait pas

$$V_1+V_2+\dots+ V_k\sim 0,$$

je dis qu’on pourra toujours trouver une ligne $V$, située dans $U$, qui sera fermée, qui aura ses deux extrémités sur la frontière de $U$ et qui sera telle que

$$N(V,V_1)+N(V,V_2)+\dots+ N(V,V_k)\neq 0.$$

En effet, supposons d’abord que les variétés $V_1, V_2,\dots, V_k$ ne partagent pas $U$ en plusieurs régions distinctes. Alors on pourra aller d’un point quelconque de $U$ à un autre point quelconque de $U$ sans rencontrer aucune des variétés $V_i$.

Considérons alors une ligne très petite rencontrant $V_1$ en un point $M$ et ne rencontrant aucune autre des variétés $V_i$ ; nous pourrons joindre les deux extrémités de cette ligne par une autre ligne continue qui ne rencontrera aucune des variétés $V_i$ ; nous aurons construit ainsi une ligne fermée qui ne rencontrera les variétés $V_i$ qu’en un seul point. La somme de $S(M)$ ne pourra donc être nulle.

Supposons maintenant que les variétés $V_i$ partagent $U$ en plusieurs régions $R$ ; mais cependant qu’elles soient linéairement indépendantes. Dans ce cas, la frontière complète d’aucune des régions $R$ ne pourra être constituée par une partie des variétés $V_i$, sans quoi il y aurait entre ces variétés une homologie, ce que nous ne supposons pas.

La frontière complète de $R$ se composera donc de quelques-unes des variétés $V_i$ et d’une partie de la frontière de $U$. Il en résulte que d’un point quelconque de $R$ on pourra aller à la frontière de $U$ sans sortir de $R$ et sans rencontrer aucune des variétés $V_i$.

Considérons alors une des variétés $V_i$, $V_1$, par exemple, et envisageons une petite ligne coupant $V_1$ en un point $M$ ; soient $R$ et $R'$ les régions auxquelles appartiennent les deux extrémités $\mu$ et $\mu'$ de cette petite ligne. De $\mu$ on pourra aller par une ligne continue à la frontière de $U$ sans sortir de $R$ ; de $\mu'$ on pourra aller par une troisième ligne continue à la frontière de $U$ sans sortir de $R'$.

L’ensemble de ces trois lignes continues ira de la frontière de $U$ à la frontière de $U$, et si je l’appelle $V$, on aura

$$N(V,V_1)=1, \qquad N(V,V_i)=0 \qquad (i>1).$$

On peut donc choisir $V$ de telle façon que tous les $N(V,V_i)$ soient nuls, excepté un d’entre eux qui sera égal à $1$.

Supposons enfin qu’il y ait entre les $V_i$ un certain nombre d’homologies, $3$, par exemple,

$$ \tag{α} \sum k_i V_i \sim \sum k'_i V_i \sim \sum k_i''V_i \sim 0. $$

Nous pourrons alors, parmi les $k$ variétés $V_i$, en trouver $k-3$ qui soient linéairement indépendantes ; soient, par exemple, $V_1$, $V_2$, $\ldots$, $V_{k-3}$.

Nous pouvons choisir $V$ de telle façon que tous les $N(V,V_i)$ où $i=1$, $2$, $\ldots$, $k-3$, soient nuls à l’exception de l’un quelconque d’entre eux qui sera égal à $1$. Les valeurs de

$$N(V,V_{k-2}),\, N(V,V_{k-1}),\, N(V,V_k)$$

s’en déduiront à l’aide des relations

$$ \tag{β} \sum k_iN(V,V_i)=\sum k'i N(V,V_i)=\sum k''_i N(V,V_i)=0 $$

qui sont une conséquence nécessaire de nos homologies ($\alpha$).

Il ne peut pas alors arriver que l’on ait

$$ \tag{ɣ} \sum N(V,V_i)=0, $$

quelle que soit celle des $k-3$ quantités

$$N(V,V_i) \: (i=1,\, 2,\, \ldots,\, k-3)$$

qui soit égale à $1$. Cela ne pourrait se faire, en effet, que si l’équation ($\gamma$) était une conséquence nécessaire des équations ($\beta$) ; mais alors l’homologie

$$ \tag{δ} \sum V_i\sim 0 $$

serait une conséquence nécessaire des homologies ($\alpha$). Or nous avons supposé au début que cette homologie ($\delta$) n’avait pas lieu.

On pourra donc toujours choisir $V$ de manière que l’égalité ($\gamma$) n’ait pas lieu.

C. Q. F. D.

Nous désignerons sous le nom de coupure toute variété contenue dans $U$ : $1^{\rm o}$ si elle est fermée ; $2^{\rm o}$ si elle n’est pas fermée, mais si sa frontière fait partie de la frontière complète de $U$.

Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant qui résume la discussion précédente :

La condition nécessaire et suffisante (si les variétés $V_i$ sont fermées et à $h-1$ dimensions) pour que l’on puisse choisir la coupure $V$ de telle sorte que l’égalité

$$\sum k_i N(V,V_i)=0$$

n’ait pas lieu, c’est que l’homologie

$$\sum k_iV_i\sim 0$$

n’ait pas lieu.

Cherchons maintenant à étendre le théorème au cas où $V$ a $p$ dimensions et où $V_1$, $V_2$, $\ldots$, $V_k$ en ont $h-p$.

Soient

$$F_\alpha=0,\:\phi_\beta>0 \: (\alpha=1,\, 2,\,\ldots,\,n-h)$$

les équations de $U$ ; soient

$$F_\alpha=0,\: F'_\gamma=0,\: \phi_\beta>0 \: (\gamma=1,\, 2,\,\ldots,\,h-p)$$

celles de $V$.

Quant à $V_1$, $V_2$, $\ldots$, $V_k$, nous les définirons de la manière suivante. Nous pourrons toujours trouver $p-1$ équations

$$\Phi_1=\Phi_2=\ldots=\Phi_{p-1}=0$$

auxquelles satisfont tous les points de $V_1$, $V_2$, $\ldots$, $V_k$ ; c’est ainsi que si $h=3$, $p=2$, si $U$ est l’espace ordinaire et si $V_1$, $V_2$, $\ldots$, $V_k$ sont des courbes, on pourra toujours, par ces courbes, quelles qu’elles soient, faire passer une surface.

Pour définir $V_i$, nous y adjoindrons une $p^{\textrm{ième}}$ égalité

$$F_i''=0.$$

Soit alors $U'$ la variété à $h-p+1$ dimensions

$$F_\alpha=0,\, \Phi_\nu=0, \, \phi_\beta>0,$$

et $V'$ la variété à $1$ dimension

$$F_\alpha=F'_\gamma=\Phi_\nu=0, \, \phi_\beta>0.$$

On aura d’abord

$$N(V',V_i)=N(V,V_i).$$

D’autre part, si l’homologie

$$\sum k_iV_i\sim 0$$

a lieu par rapport à $U'$, elle aura lieu par rapport à $U$. Il est vrai que la réciproque n’est pas vraie et que cette homologie peut avoir lieu par rapport à $U$ sans avoir lieu par rapport à $U'$ ; mais, si elle a lieu par rapport à $U$, on pourra toujours, en choisissant convenablement les fonctions $\Phi$, trouver une variété $U'$ à $h-p+1$ dimensions par rapport à laquelle elle ait lieu.

Nous devons donc conclure que le théorème est encore vrai quand $V$ a plus d’une dimension.

Si donc $V_1$ et $V_2$ sont deux variétés fermées à $h-p$ dimensions, si pour toutes les coupures $V$ à $p$ dimensions, on a

$$N(V,V_1)=N(V,V_2),$$

on aura aussi

$$V_1\sim V_2$$

et inversement.

Bornons-nous au cas où $U$ est fermée. Alors $U$ n’a pas de frontière et toutes les coupures sont fermées.

Le nombre des coupures de $p$ dimensions linéairement indépendantes est $P_p-1$.

Soient

$$C_1,\, C_2,\, \ldots,\, C_\lambda \: (\lambda=P_p-1)$$

ces coupures.

Soient ensuite

$$V_i\: (i=1,\, 2, \, \ldots,\, \mu)$$

$\mu$ variétés fermées à $h-p$ dimensions.

La condition nécessaire et suffisante pour que l’on ait entre elles une homologie

$$\sum k_iV_i\sim 0,$$

c’est que l’on ait

$$\sum k_iN(C_1,V_i)=\sum k_i N(C_2,V_i)=\ldots=\sum k_iN(C_\lambda,V_i)=0.$$

Or si le nombre $\mu$ des $V_i$ est supérieur à $\lambda$, on pourra toujours trouver des entiers $k_i$ satisfaisant à ces conditions, puisque nous aurons $\mu$ arbitraires $k_i$ et $\lambda$ conditions à remplir. Si donc les $V_i$ sont linéairement indépendantes, on aura

$$\mu \leq \lambda.$$

Donc

$$P_{h-p}\leq P_p\, ;$$

mais, en changeant $p$ en $h-p$, on trouve

$$P_p\leq P_{h-p}.$$

Donc

$$P_p=P_{h-p}.$$

Par conséquent, pour une variété fermée, les nombres de Betti également distants des extrêmes sont égaux.

$$ $$

Ce théorème n’a, je crois, jamais été énoncé ; il était cependant connu de plusieurs personnes qui en ont même fait des applications.

Voyons maintenant ce qui se passe quand $h$ est pair pour le nombre moyen $P_{\frac{h}{2}}$. Supposons que $h$ soit multiple de $4+2$, de telle façon que $\frac{h}{2}$ soit impair.

On sait que, quand, dans un déterminant, on fait un nombre impair de permutations de lignes, il change de signe. Quand on permutera $V$ et $V_1$, qui ont $\frac{h}{2}$ dimensions, le déterminant $f(M,M)$ changera de signe ; on aura donc

$$N(V,V_1)=-N(V_1,V);$$

on en déduit

$$N(V,V)=0.$$

Le symbole $N(V,V)$ n’a, par lui-même, aucun sens, puisque, les deux variétés $V$ et $V$ coïncidant, le nombre des points d’intersection est infini ; il faut donc préciser la définition ; nous poserons donc

$$N(V,V)=N(V,V'),$$

où

$$V\sim V'.$$

Cela posé, je dis que $P_{\frac{h}{2}}$ est impair. Supposons, en effet, qu’il soit pair et soient

$$V_1,\, V_2,\, \ldots, \, V_\mu$$

les $\mu$ variétés linéairement indépendantes à $\frac{h}{2}$ dimensions où

$$\mu=P_{\frac{h}{2}}-1$$

est impair.

Formons le déterminant où le $i^\textrm{ième}$ terme de la $k^\textrm{ième}$ colonne est $N(V_i,V_k)$. Ce déterminant serait gauche, c’est-à-dire que les termes symétriques par rapport à cette diagonale seraient égaux et de signe contraire. Comme le nombre des colonnes serait impair, ce déterminant serait nul. Il en résulterait, contrairement à l’hypothèse, que les variétés $V_1$, $V_2$, $\ldots$, $V_\mu$ ne seraient pas linéairement indépendantes.

Donc $P_\frac{h}{2}$ est impair.

Cela ne serait plus vrai, ni si $h$ était multiple de $4$, ni si la variété $U$ était unilatère ; car tous nos raisonnements supposent les variétés bilatères. Nous en verrons plus loin des exemples.