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§ 1. Première définition des variétés

Soient $x_1,x_2, \ldots,x_n$ $n$ variables que je pourrai regarder comme les coordonnées d’un point dans l’espace à $n$ dimensions.

Jusqu’à nouvel ordre, je supposerai que ces $n$ variables demeurent toujours réelles.

Un système quelconque de $n$ variables s’appellera un point.

Considérons le système suivant formé de $p$ égalités et de $q$ inégalités

$$\tag{1} \left\{ \begin{array}{c} F_1(x_1,x_2, \ldots,x_n)=0,\\ F_2(x_1,x_2, \ldots,x_n)=0,\\ \ldots \\ F_p(x_1,x_2, \ldots,x_n)=0,\\ \phi_1(x_1,x_2, \ldots,x_n) >0,\\ \phi_2(x_1,x_2, \ldots,x_n) >0,\\ \ldots \\ \phi_q(x_1,x_2, \ldots,x_n) >0,\\ \end{array} \right. $$

Je supposerai que les fonctions $F$ et $\phi$ sont uniformes et continues et qu’elles ont des dérivées continues ; je supposerai de plus que, si l’on forme le tableau

$$\begin{array}{cccc} \frac{dF_1}{dx_1},&\frac{dF_1}{dx_2},& \ldots, &\frac{dF_1}{dx_n},\\ \frac{dF_2}{dx_1},&\frac{dF_2}{dx_2},& \ldots, &\frac{dF_2}{dx_n},\\ \ldots,&\ldots,&\ldots,&\ldots,\\ \frac{dF_n}{dx_1},&\frac{dF_n}{dx_2},& \ldots, &\frac{dF_p}{dx_n},\\ \end{array} $$

et que l’on forme les déterminants obtenus en prenant $p$ colonnes quelconques dans ce tableau, je supposerai, dis-je, que ces déterminants ne s’annulent jamais tous à la fois.

Je dirai que l’ensemble des points qui satisfont aux conditions (1), s’il y en a, ce que je suppose, forme une variété à $n - p$ dimensions. (Si, en particulier $p = 0$, de sorte qu’il n’y ait que des inégalités, j’aurai une variété a $n$ dimensions qui ne sera autre chose ; qu’une portion de l’espace à $n$ dimensions ; je désignerai ordinairement cette variété sous le nom de domaine).

Deux cas peuvent se présenter. Soient $\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n;\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$ deux points satisfaisant aux conditions (1). Ou bien on pourra faire varier d’une manière continue $x_1,x_2,\ldots,x_n$ depuis $\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$ jusqu’à $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$, sans que les relations (1) cessent d’être satisfaites, et cela quelles que soient les valeurs de $\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$ et de $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$, pourvu que ces valeurs satisfassent aux conditions (1) ; ou bien cela ne sera pas toujours possible.

Dans le premier cas, nous dirons que la variété définie par les conditions (1) est continue.

Dans ce qui va suivre, je ne considérerai que des variétés continues et, en ce qui concerne celles qui ne sont pas continues, je me bornerai à faire observer que l’on peut toujours les décomposer en un nombre fini ou infini de variétés continues.

Soit, par exemple, la variété

$$x_2^2 + x_1^4 - 4x_1^2 + 1 = 0. $$

Ici $n=2$ et le point $x_1,x_2$ est un point du plan ; notre variété n’est alors autre chose qu’une courbe du $4^e$ degré ; mais, comme cette courbe se compose de deux branches de courbe fermées, notre variété n’est pas continue.

Mais nous pouvons la décomposer en deux autres, à savoir :

$$ \begin{array}{cc} x_2^2 + x_1^4 - 4x_1^2 + 1 = 0,& x_1>0\\ \end{array} $$

et

$$ \begin{array}{cc} x_2^2 + x_1^4 - 4x_1^2 + 1 = 0,& x_1<0\\ \end{array} $$

et chacune d’elles, se réduisant à une seule branche de courbe fermée, est continue.

Je dirai qu’une variété est finie si tous ses points satisfont à la condition

$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 < K^2,$$

$K$ étant une constante donnée.

Considérons maintenant le système de relations

$$ \tag{2} \left\{ \begin{array}{lc} F_{\alpha}=0 & (\alpha = 1,2,\ldots,p),\\ \phi_{\beta} = 0\\ \phi_{\gamma}>0 & (\gamma \neq \beta) \end{array} \right. $$

qui se compose de $p+1$ égalités et de $q-1$ inégalités.

Il peut arriver, ou bien qu’il n’y ait aucun point satisfaisant aux conditions (2), ou bien qu’il y en ait et, dans ce cas, ils formeront une variété, continue ou non, qui aura moins de $n-p$ dimensions.

L’ensemble des points qui satisferont à l’un des $q$ systèmes de relations

$$ \tag{3} \left\{ \begin{array}{cccc} F_{\alpha}=0,& \phi_1 =0,& \phi_{\gamma}>0 & (\gamma \neq 1),\\ F_{\alpha}=0,& \phi_2 =0,& \phi_{\gamma}>0 & (\gamma \neq 2),\\ \ldots& \ldots & \ldots& \ldots \\ F_{\alpha}=0,& \phi_q =0,& \phi_{\gamma}>0 & (\gamma \neq q),\\ \end{array} \right. $$

s’appellera la frontière complète de la variété définie par les conditions (1), mais nous nous placerons quelquefois à un autre point de vue et nous ne considérerons comme une véritable variété frontière que celles qui auront $n-p-1$ dimensions.

Il pourra se faire qu’il n’y ait aucune variété à $n-p-1$ dimensions qui satisfasse à l’un des $q$ systèmes (3). Dans ce cas, la variété définie par les conditions (1) sera dite illimitée. Dans le cas contraire, elle sera dite limitée.

Si une variété est à la fois finie, continue et illimitée, elle sera dite fermée.

Pour abréger un peu le langage, nous donnerons le nom de surfaces aux variétés à $n - 1$ dimensions, sauf dans le cas de $n = 2$ ; et nous donnerons, dans tous les cas, le nom de courbes aux variétés à une dimension.