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> Textes originaux > Analysis Situs > § 6. Nombres de Betti Cette page présente la transcription d’une section des Œuvres Complètes de Poincaré. Vous pouvez retrouver nos commentaires par ici. § 6. Nombres de Betti |
Nous dirons que les variétés
$$v_1,v_2,\dots,v_\lambda,$$
d’un même nombre de dimensions et faisant partie de $V$, sont linéairement indépendantes, si elles ne sont liées par aucune homologie à coefficients entiers.
S’il existe $P_m-1$ variétés fermées à $m$ dimensions faisant partie de $V$ et linéairement indépendantes et s’il n’en existe que $P_m-1$, nous dirons que l’ordre de connexion de $V$ par rapport aux variétés à $m$ dimensions est égal à $P_m$.
Ainsi se trouvent définis, en ce qui concerne une variété $V$ à $m$ dimensions, $m-1$ nombres que j’appellerai
$$P_1,P_2,\dots,P_{m-1}$$
et qui sont les ordres de connexion de $V$ par rapport aux variétés de
$$1,2,\dots,m-1$$
dimensions.
Je les appellerai dans la suite les nombres de Betti.
Rendons ces définitions plus claires par un exemple :
Soit $D$ un domaine faisant partie de l’espace ordinaire et limité par $n$ surfaces fermées
$$S_1,S_2,\dots,S_n,$$
qui ne se coupent pas.
Ce domaine est une variété à trois dimensions. Il admet donc deux nombres de Betti $P_1$ et $P_2$.
Cette variété est alors définie par les inégalités
$$\varphi_1>0,\qquad \varphi_2>0,\qquad \dots,\qquad \varphi_n>0$$
si les équations des $n$ surfaces $S$ sont
$$\varphi_1=0,\qquad \varphi_2=0,\qquad \dots,\qquad \varphi_n=0.$$
Comme les surfaces ne se coupent pas, il n’y a pas de valeurs $x_1,x_2,x_3$ qui satisfassent à la fois deux de ces équations
$$\varphi_l=0,\qquad \varphi_k=0.$$
Les surfaces $S_1,S_2,\dots,S_n$, ayant deux dimensions, n’auront qu’un seul nombre de Betti qui sera l’ordre de connexion de Riemann ; soient
$$2Q_1+1,\qquad 2Q_2+1,\qquad \dots,\qquad 2Q_n+1$$
les ordres de connexion (qui sont impairs, puisque les surfaces sont fermées) des $n$ surfaces
$$S_1,S_2,\dots,S_n,$$
on aura
$$P_2=n,\qquad P_1=Q_1+Q_2+\dots+Q_n+1.$$
Ainsi, pour la région intérieure à une sphère
$$P_2=1,\qquad P_1=1 ;$$
pour la région comprise entre deux sphères,
$$P_2=2,\qquad P_1=1 ;$$
pour la région intérieure à un tore,
$$P_2=1,\qquad P_1=2 ;$$
pour la région comprise entre deux tores,
$$P_2=2,\qquad P_1=2.$$