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Triangulations lisses

Par définition, les variétés PL viennent équipées d’une classe de cellulations (linéaires) compatibles privilégiées. L’objet de cet article est de montrer que c’est en fait également le cas des variétés lisses : c’est le théorème de Whitehead. Un ingrédient crucial de la preuve est le théorème d’approximations $C^1$, qui énonce qu’un objet lisse peut-être approximé en topologie $C^1$ par un objet PL.

Pour énoncer et démontrer le théorème de Whitehead, il nous faut commencer par définir la notion de cellulation lisse d’une variété lisse. Celle-ci passe par la notion d’application lisse par morceaux. Il s’agit ensuite de montrer que toute variété lisse admet une cellulation lisse, unique en un certain sens. C’est le contenu du théorème de Whitehead ci-dessous, à la preuve duquel le reste de cet article est consacré. [1]

Définition (Cellulation lisse des variétés)

Une cellulation lisse d’une variété (lisse) $V$ est la donnée d’un complexe cellulaire affine $K$ et d’un homéomorphisme $f:|K| \to V$ dont la restriction à chaque cellule de $K$ est un plongement lisse. Si $K$ est simplicial, on parle de triangulation (lisse) de $V$.

Théorème de Whitehead

Soit $V$ une variété lisse.

  1. Il existe une cellulation lisse $(K,f)$ de $V$.
  2. Si $(L,g)$ est une autre cellulation lisse de $V$ alors les polyèdres $|K|$ et $|L|$ sont PL-homéomorphes.
  3. Le polyèdre $|K|$ est une variété PL.

On pourrait reformuler ce théorème en disant que toute variété lisse peut être munie d’une unique structure de variété PL abstraite compatible avec sa structure différentielle. Mais une fois encore nous choisissons de mettre l’accent sur l’objet rigide qu’est une cellulation plutôt que sur la structure définie par une classe de tels objets. Au final notre but ici est en effet de discrétiser les variétés lisses et non d’étudier pour elles-mêmes les variétés PL.

Le théorème reste vrai si $V$ est seulement supposée $C^1$ et si l’on remplace les applications lisses par des applications $C^1$. En revanche, pour les variétés topologiques, les énoncés analogues aux trois assertions du théorème, s’ils restent vrais en dimension $\le 3$, sont faux en général comme nous l’expliquons ici. Ainsi, la double suspension $\Sigma^2P$ de la sphère d’homologie de Poincaré $P$ est homéomorphe à la sphère $\mathbb{S}^{5}$ d’après un théorème de Cannon [2]. Elle hérite en tant que telle d’une cellulation $(K,f)$ avec pour $K$, par exemple, le bord du simplexe standard de dimension $6$. Mais la double suspension munit également $\Sigma^2 P$ d’une triangulation continue issue de celle de $P$, dont le polyèdre n’est pas une variété PL (et n’est donc a fortiori pas homéomorphe à celui de l’autre cellulation).

$$ $$

Existence

Soit $V$ une variété (lisse) que nous supposerons (pour simplifier) compacte. Dans ce paragraphe on démontre que $V$ possède une triangulation lisse $(K,f)$.

Commençons pour cela par une remarque élémentaire : localement une variété peut toujours être triangulée. Tout point possède en effet un voisinage (compact) image d’un simple simplexe par un plongement dont la restriction à chaque cellule est une immersion ! Le problème est donc en gros : étant donné deux telles régions « triangulées », leur union est elle, elle aussi, triangulable ? C’est essentiellement l’objet des deux lemmes qui suivent.

Envie d’une idée du contenu de ces lemmes avant les énoncés formels ?

L’image d’un objet affine par un changement de carte lisse n’est certes plus affine, mais il reste lisse :) La preuve se résume alors à montrer que tout objet lisse est approchable par des objets affines par morceaux. On consacre précisément un article à ce principe, article dans lequel les « objets » lisses que l’on approche sont des applications.

$$ $$

Définition (Application et plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$)

Soit $X$ un polyèdre compact. Une application $f:X \to V$ est lisse par morceaux, noté $C_{\rm pm}^{\infty}$, s’il existe une cellulation linéaire $K$ de $X$ telle que la restriction de $f$ à chaque cellule de $K$ soit lisse. L’application $f$ est un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ si de plus $f$ est injective et que sa restriction à chaque cellule de $K$ est une immersion lisse.

Si $f : X \to V$ est un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$, alors $f$ définit une cellulation lisse de $f(X)$, ou plus précisément une classe de telles cellulations.

Définition (Plongements compatibles)

Soit $f : X \to V$ et $g:Y \to V$ deux plongements $C_{\rm pm}^{\infty}$ avec $X$ et $Y$ polyèdres compacts ; on note $W$ l’intersection $f(X) \cap g(Y) \subset V$. On dit que $f$ et $g$ sont compatibles si les conditions suivantes sont vérifiées.

  1. Les sous-ensembles $f^{-1} (W) \subset X$ et $g^{-1} (W) \subset Y$ sont des sous-polyèdres de $X$ et $Y$.
  2. L’application $g^{-1} \circ f : f^{-1} (W) \to g^{-1} (W)$ est un homéomorphisme PL.

Le lemme suivant est élémentaire, les définitions sont faites pour.

Lemme (Recollement de plongements compatibles)

Soit $f : X \to V$ et $g:Y \to V$ deux plongements $C_{\rm pm}^{\infty}$ compatibles avec $X$ et $Y$ polyèdres compacts. Soit $W$ l’intersection $f(X) \cap g(Y) \subset V$. Alors le recollement $X \coprod_W Y$ de $X$ sur $Y$ par $g^{-1}\circ f$ a une structure de polyèdre telle que les deux propriétés suivantes soient vérifiées.

  1. Les applications $f$ et $g$ se recollent en un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ $f \cup g : X \coprod_W Y \to V$.
  2. Un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ $h:Z \to V$ est compatible avec $f \cup g$ si et seulement si $f$ et $g$ sont tous les deux compatibles avec $h$.

Démonstration. Il existe des complexes simpliciaux finis $K$ et $L$ tels que $X=|K|$, $Y=|L|$, $K \cap f^{-1}(W)$ soit un sous-complexe $K_0$ de $K$ et $L\cap g^{-1} (W)$ soit un sous-complexe $L_0$ de $L$. L’espace $L \cup_{g^{-1} \circ f} K$ peut être réalisé comme complexe simplicial [3]. Le complexe simplicial $L \cup_{g^{-1} \circ f} K$ contient un sous-complexe PL-homéomorphe à $L$ ainsi qu’un sous-complexe PL-homéomorphe au sous-complexe de $K$ constitué de tous les simplexes qui ne rencontrent pas $K_0$. Les points $i$ et $ii$ sont alors immédiats.

C.Q.F.D.

Muni de ce lemme on peut démontrer l’existence d’une triangulation lisse en recollant un nombre fini de triangulations lisses compatibles associées à un atlas de $V$. On notera que la réalisation géométrique du polyèdre obtenu est une variété PL.

Pour tout point $x \in V$, on se donne une carte locale lisse $\mathbb{R}^n \stackrel{\sim}{\to} O_x$ qui envoie $0$ sur $x$. Soit $U_x \subset O_x$ l’image de la boule unité de $\mathbb{R}^n$. On note $f_x : [-2, 2]^n \to V$ l’application obtenue en composant l’inclusion $[-2, 2]^n \subset \mathbb{R}^n$ avec la carte locale $\mathbb{R}^n \cong O_x \subset V$. Puisque $V$ est compacte on peut extraire du recouvrement $\{ U_x \}_{x \in V}$ un sous-recouvrement fini $\{ U_{x_i} \}_{i=1 , \ldots , k }$. Soient $O_i = O_{x_i}$, $U_i = U_{x_i}$ et $f_i = f_{x_i}$, pour $i=1 , \ldots , k$. Les applications $f_i : [-2, 2]^n \to V$ sont des plongements $C_{\rm pm}^{\infty}$ (et même $C^\infty$ tout court) dont les images recouvrent $V$. Cependant les $f_i$ ne sont pas nécessairement compatibles. Le lemme suivant permet de remédier à ce problème.

Lemme (Approximation par un plongement compatible)

Soit $V$ une variété lisse munie d’une carte lisse $\mathbb{R}^n \stackrel{\sim}{\to} O \subset V$ et soit $f : X \to V$ un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ (avec $X$ polyèdre fini). Il existe alors une suite $(g_j : X \to V)_j$, de plongements $C_{\rm pm}^{\infty}$ compatibles avec le plongement $[-2,2]^n \subset \mathbb{R}^n \to V$, qui tend vers $f$ au sens de la topologie $C^1$.

Démonstration. Soit $Y = f^{-1} (O)$ ; c’est un ouvert, donc un sous-polyèdre de $X$. On veut appliquer l’approximation $C^1$. Il faut cependant prendre garde au fait que le polyèdre $Y$ n’est pas compact. Considérons donc un sous-polyèdre compact $Y_0$ dont l’image par $f$ contient l’image de $[-3 , 3]^n$ dans $O$. Pour simplifier les notations on identifie dans la suite $O$ avec $\mathbb{R}^n$ de sorte que $Y_0 \subset f^{-1} ([-3,3]^n)$. Maintenant soit $\chi : Y \to [0,1]$ une application PL à support dans un sous-polyèdre compact $Y_1$ et constante égale à $1$ sur $Y_0$. Si $f'' : Y_1 \to \mathbb{R}^n$ est une application PL proche de $f_{|Y_1}$, alors l’application $f' = \chi f'' + (1-\chi) f$ est proche de $f$, PL sur $Y_0$ et égale à $f$ en dehors de $Y_1$. Il découle donc de l’approximation $C^1$ (sur les polyèdres compacts) qu’il existe une suite $(f_j : Y \to \mathbb{R}^n)$, d’applications $C_{\rm pm}^{\infty}$, qui tend vers $f$ au sens de la topologie $C^1$ et vérifie que chaque $f_j$ est PL sur $Y_0$ et coïncide avec $f_{|Y}$ en dehors d’un compact.

Si $j$ est suffisamment grand, la préimage $f_j^{-1} ([-2, 2]^n)$ est contenue dans $Y_0$. L’application $f_j$ étant PL sur $Y_0$, on en déduit que $f_j$ est compatible avec le plongement $[-2,2]^n \subset \mathbb{R}^n \to V$. Enfin puisque $f_j$ coïncide avec $f_{|Y}$ en dehors d’un compact, l’application $g_j : X \to V$, qui coïncide avec $f_j$ sur $Y$ et avec $f$ en dehors de $Y$, est une application $C_{\rm pm}^{\infty}$ qui est compatible avec le plongement $[-2,2]^n \subset \mathbb{R}^n \to V$. Enfin la suite $(g_j : X \to V)_j$ tend vers $f$ au sens de la topologie $C^1$ et pour $j$ suffisamment grand $g_j$ est un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$.

C.Q.F.D.

On démontre finalement par récurrence sur $l \leq k$, qu’il existe des plongements $C_{\rm pm}^{\infty}$ $\{ f_i^{(l)} \}_{i=1 , \ldots , l}$ deux à deux compatibles de sorte que chaque $f_i^{(l)}$ soit une approximation de $f_i$, que l’on peut choisir arbitrairement proche, dans la topologie $C^1$.

Pour $l=1$, on peut simplement poser $f_1^{(1)} = f_1$.

Supposons maintenant construite une suite d’approximations $\{ f_i^{(l-1)} \}_{i=1 , \ldots , l-1}$. Puisque ces applications sont compatibles, on peut les recoller en un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ $f^{(l -1)} : X^{(l-1)} \to V$, où $X^{(l -1)}$ est obtenu en recollant les domaines $X_j^{(l -1)} = [-2,2]^n$ des applications $f_j^{(l -1)}$. Maintenant le lemme précédent permet d’approcher $f^{(l -1)}$ par un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ $g : X^{(l -1)} \to V$ compatible avec $f_l$. On peut alors poser $f_l^{(l)} = f_l$ et $f_j^{(l)}$ égale à la composée

$$[-2,2]^n = X_j^{(l -1)} \hookrightarrow X^{(l -1)} \stackrel{g}{\to} V,$$

ce qui termine la preuve de l’étape de récurrence.

Pour conclure la preuve de la proposition, il reste à remarquer le plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$ obtenu en recollant les $f_i^{(k)}$ donne une triangulation lisse de $V$.

C.Q.F.D.

Unicité

Soient $(K,f)$ et $(L,g)$ deux triangulations lisses de $V$. Quitte à subdiviser finement $K$, on peut supposer qu’il existe une collection $\{ K_i \}_{1 \leq i \leq l}$ de sous-complexes de $K$ tels que chaque image $f(K_i )$ soit contenue dans un domaine de carte $U_i \subset V$ et telle que la réunion des $K_i$ soit égale à $K$ (on ne précise rien sur les intersections). Nous allons montrer par récurrence sur $j \leq l$, qu’il existe une subdivision $K^j$ de la réunion $\cup_{i=1}^j K_i$ et des approximations $f_j$ et $g_j$ de $f$ et $g$ telles que $f_j$ restreinte à $K^j$ est compatible avec $g_j$ [4]. En prenant $j=l$ on obtient que les applications $f_l$ et $g_l$ sont compatibles et donc que les polyèdres $|K|$ et $|L|$ sont PL-homéomorphes. On initialise la récurrence par l’énoncé vide correspondant à $j = 0$.

Supposons donc construits la subdivision $K^j$ et les approximations $f_j$ et $g_j$ pour $j < l$. La compatibilité de la restriction de $f_j$ à $K^j$ et de $g_j$ implique que $(g_j)^{-1} \circ f_j(K^j)$ est un sous-complexe de $L$, on le note $L^j$. Ainsi l’application $h$ égale à $g_j^{-1} \circ (f_j)_{|K^j}$ définit un isomorphisme PL de $|K^j|$ vers $|L^j|$.

Subdivisons maintenant $K$ suffisamment finement pour qu’il existe des sous-complexes $B_K$ et $B_K'$ tels que [5]

  1. $K_{j + 1}$ est inclus dans l’intérieur de $B_K$ ;
  2. $B_K$ est inclus dans l’intérieur de $B_K'$ ; et
  3. $f_j(B_K')$ est inclus dans le domaine de carte $U_{j + 1}$.

Comme dans la démonstration du Lemme (Approximation par un plongement compatible), on déduit de l’approximation $C^1$ que l’on peut approcher $f_{j}$ dans $B_K'$ par une application $f_{j+1}$ qui en restriction à $B_K$ est un plongement PL. En particulier $f_{j + 1}$ est PL en restriction à $K_{j + 1}$ (dont l’image est bien contenue dans $U_{j + 1}$). Notons $B_V$ l’image $f_{j+1} (B_K)$ de $B_K$ dans $V$.

Maintenant, la composée $f_{j + 1} \circ h^{-1}$ est une perturbation de la restriction de $g_j$ à $L^j$. Le lemme d’extension ci-dessous garantit qu’on peut étendre cette perturbation en une application $\tilde g_j$. Plus $f_{j+1}$ est proche de $f_j$ dans $B_K '$ plus $\tilde g_j$ est proche de $g_j$, dans la topologie $C^1$. On peut donc en outre supposer que $\tilde g_j$ est un plongement $C_{\rm pm}^{\infty}$. Enfin, par construction, la restriction de $f_{j + 1}$ à $K^j$ est compatible avec $\tilde g_j$.

Notons $B_L \subset L$ l’image inverse de la boule $B_V$ par $\tilde g_j$ ; ce n’est pas un sous-complexe de $L$ en général mais son intersection $B_L \cap L^j$ avec $L^j$ est bien un sous-complexe. Et, puisque $h$ et $(f_{j + 1})_{|B_K }$ sont PL, la restriction de $\tilde g_j$ à $L^j \cap B_L$ est PL.

Subdivisions maintenant $L$ suffisamment finement pour qu’il existe un sous-complexe $B_L'$ contenu dans $B_L$ dont l’image par $\tilde g_j$ contienne le polyèdre $f_{j + 1}(K_{j + 1})$. Une nouvelle fois, l’approximation $C^1$ permet d’approcher $\tilde g_j$ dans $B_L '$ par un plongement est PL $g_{i+1}$ tel que

  1. $g_{i+1}$ coïncide avec $\tilde g_j$ sur $L^j \cap B_L$ (où cette dernière était déjà PL) ; et
  2. $g_{j + 1}(B_L')$ contient $f_{j + 1}(K_{j + 1})$.

La restriction de $f_{j + 1}$ à $K_{j + 1}$ est alors compatible avec $g_{j + 1}$. Enfin la construction assure que la compatibilité sur $K^j$ est préservée.

C.Q.F.D.

Lemme (Extension)

Soit $X$ un polyèdre fini et $f:X \to V$ une application lisse par morceaux. Soit $X_0$ un sous-polyèdre fini de $X$. Pour tout $\delta > 0$ il existe $\delta' > 0$ tel que toute application lisse par morceaux $f_0' : X_0 \to V$ qui est $\delta'$-proche de la restriction de $f$, dans la topologie $C^1$, peut être étendue en une application $f' : X \to V$ $\delta$-proche de $f$ dans la topologie $C^1$.

Démonstration. On travaille cellule par cellule dans une subdivision suffisamment fine pour que toutes les cellules soient envoyées par $f$ et $f'_0$ dans un domaine de carte. On traite les cellules par ordre de dimension croissante. Après un traitement spécial des cellules de dimension 1, on est ramenés à montrer le lemme dans le cas où $X=|\sigma|$ est réduit à une cellule, $X_0= |\partial \sigma |$ (et $V = \mathbb{R}^n$). Soit $C$ un collier PL de $X_0$ dans $X$, de sorte que $C \cong [0,1] \times \partial \sigma$. On note $\pi_1$ et $\pi_2$ les projections de $C$ sur $[0,1]$ et $\partial \sigma$ respectivement de sorte que $\pi_1 (\partial \sigma ) = 0$. On définit alors $f'$ par la formule

$$f' (x) = \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \mbox{ si } x\notin C, \\ (1 - \pi_1(x))\big(f_0'(\pi_2 (x)) - f(\pi_2 (x))\big) + f(x) & \mbox{ si } x \in C. \end{array} \right.$$

C.Q.F.D.


[1On suit ici les notes de cours de Jacob Lurie disponible ici.

[2J. W. Cannon, Shrinking cell-like decompositions of manifolds. Codimension three, Ann. of Math. (2), 110, 1979, 83—112.

[3On considère ici plus généralement des quotients de polyèdres.

[4On gardera bien en tête que $f_j$ et $g_j$ sont définies globalement.

[5La lettre $B$ est là pour indiquer que l’on pense à ces sous-complexes comme étant homéomorphes à des boules (bien que ce ne soit nullement nécessaire).