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Le but de cet article est de démontrer le théorème suivant.
Le groupe modulaire $Mod^{+}(\mathbb{S}^2 )$ de la sphère $\mathbb{S}^2$ est trivial.
Autrement dit, tout difféomorphisme de la sphère $\mathbb{S}^2$ préservant l’orientation est isotope à l’identité.
Difféomorphismes du carré relativement au bord
Commençons par considérer le groupe $\mathrm{Diff}(C, \partial C)$ des difféomorphismes du carré $C=[0,1]^2$ qui coïncident avec l’identité sur un petit voisinage du bord $\partial C$.
On munit $\mathrm{Diff}(C, \partial C)$ de la topologie $C^\infty$. [1]
L’astuce d’Alexander montre que tout homéomorphisme $f$ de $C$ qui vaut identité sur le bord est isotope à l’identité (parmi les homéomorphismes qui valent l’identité sur le bord). L’isotopie $(F_t)$ est la suivante. Considérons la norme $N$ dans $\mathbb R^2$ dont le carré unité $C$ est la boule unité. On pose alors
$$F_t (x)=x, \mbox{ si } N(x) >1-t \mbox{ et } F_t(x)=(1-t)f(\frac{x}{1-t}), \mbox{ si } N(x) \leq 1-t.$$
Le théorème suivant étend ce résultat aux difféomorphismes.
L’espace $\mathrm{Diff}(C , \partial C )$ est contractile.
Esquisse de démonstration. On considère l’espace $\mathcal{F}$ des feuilletages de vecteurs non singuliers sur le carré qui sont transverses sur les côtés haut et bas et tangents sur les côtés gauche et droite : cet espace est contractile. Le théorème de Poincaré-Bendixson entraîne en effet que tous ces feuilletages sont triviaux : une feuille qui entre en bas doit bien sortir en haut. [2]
Maintenant, le groupe $\mathrm{Diff}(C , \partial C )$ opère simplement transitivement sur $\mathcal{F}$ et c’est gagné.
C.Q.F.D.
Une première démonstration du théorème de Smale
Considérons maintenant la sphère $\mathbb{S}^2$. Soit $x_0$ un point de $\mathbb{S}^2$ et soit $(e_1 , e_2)$ une base orthonormée de l’espace tangent à la sphère en $x_0$. Après projection stéréographique depuis $x_0$, le théorème ci-dessus implique facilement la proposition suivante.
L’espace des difféomorphismes $f$ de $\mathbb{S}^2$ préservant l’orientation tels que
$$f(x_0) = x_0 \mbox{ et } d_{x_0} f (e_i ) = e_i \ (i=1,2)$$
est contractile.
Nous allons en déduire le théorème de Smale. Commençons par remarquer que l’espace $\mathrm{Diff}_+(\mathbb{S}^2 )$, des difféomorphismes de $\mathbb{S}^2$ préservant l’orientation, se rétracte sur le sous-espace constitué des difféomorphismes $f$ tels que
$$\tag{1} d_{x_0} f (e_1 ) \mbox{ et } d_{x_0} f (e_2 ) \mbox{ soient orthonormés.}$$
Quitte à composer par l’unique rotation de $\mathrm{SO}(3)$ qui envoie le repère
$$(f(x_0) , d_{x_0} f (e_1 ) ,d_{x_0} f (e_2 ))$$
sur
$$(x_0 , e_1 , e_2),$$
il découle donc de la proposition que $Diff_+ (\mathbb{S}^2 )$ se rétracte sur $\mathrm{SO}(3)$. Le théorème de Smale s’en déduit.
C.Q.F.D.
Une démonstration « plus savante » du théorème de Smale
Nous allons utiliser deux « gros » théorèmes pour lesquels on pourra se reporter à l’excellent précédant ouvrage d’Henri Paul de Saint-Gervais.
Toute structure presque complexe sur une surface est intégrable.
Il n’y a qu’une seule structure structure complexe sur la sphère $\mathbb{S}^2$.
On déduit de ces théorèmes que le groupe $\mathrm{Diff}_+(\mathbb{S}^2)$ opère transitivement sur les structures presque-complexes de $\mathbb{S}^2$. Remarquons maintenant que les structures presque complexes sur la sphère $\mathbb{S}^2$ forment les sections d’un fibré de base $\mathbb{S}^2$ et de fibre convexe. L’espace des structures presque-complexes sur $\mathbb{S}^2$ est donc contractile et le groupe $\mathrm{Diff}_+(\mathbb{S}^2)$ modulo le stabilisateur d’un point est contractile. Ce stabilisateur est le groupe $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{C})$, qui opère par homographies sur $\mathbb{S}^2 = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$. On retrouve donc que le groupe $\mathrm{Diff}_+(\mathbb{S}^2)$ a le type d’homotopie de $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ et donc de son sous-groupe compact maximal $\mathrm{SO}(3)$. En particulier, ce groupe est connexe, ce qui conclut la démonstration du théorème de Smale.
C.Q.F.D.
[1] Rappelons que deux applications lisses sont proches, au sens de la topologie $C^r$, si elles sont proches et que leurs $r$ premières dérivées sont proches. On pourrait travailler avec la topologie $C^r$ pour tout $r>1$.
[2] L’utilisation du théorème de Poincaré-Bendixson est propre à la dimension $2$. L’existence de sphères exotiques en grande dimension montre d’ailleurs que le théorème de Smale ne peut pas s’étendre aux sphères $\mathbb{S}^n$. C’est le seul endroit qui pose problème.