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C'est quoi ce site ?

Lancez-vous directement dans la lecture des textes originaux de Poincaré, dans nos commentaires de ces textes ou encore dans divers commentaires historiques sur la préhistoire de la topologie algébrique...

Dans l’Analysis Situs Poincaré crée une science nouvelle. Il s’agit d’étudier la topologie des variétés. Et pour convaincre son lecteur de se plonger dans cette étude Poincaré émaille, bien plus qu’à son habitude, son texte et les cinq compléments qui suivront d’exemples bien choisis.

Dans Introduction à l’Analysis Situs par les surfaces on trouvera une série d’articles qui illustrent certains des grands thèmes de la topologie algébrique dans le cas des surfaces.

Le groupe fondamental est le premier invariant considéré par Poincaré. La rubrique Groupe fondamental : exemples de calculs illustre son calcul sur un certain nombre d’exemples importants.

La plupart des variétés que considèrent Poincaré sont de dimension 3. On peut d’ailleurs considérer Poincaré et Heegaard comme les fondateurs de la topologie de de dimension 3. Il est donc naturel que nous consacrions une rubrique particulière à ces Exemples de dimension 3.

Le plus beau des exemples de Poincaré est certainement celui avec lequel il conclut son cinquième complément. C’est une sphère d’homologie   et nous lui consacrons la rubrique Variété dodécaédrique de Poincaré.

La topologie algébrique cherche à associer à une variété, différentielle ou topologique, ou plus généralement à un espace topologique $X$, un objet $H(X)$, un groupe ou une famille de groupe, avec lequel on puisse calculer, faire de l’algèbre.

On demande en outre que cette association soit naturelle dans le sens que si $f : X \to Y$ est une application, différentiable si $X$ et $Y$ sont des variétés différentielles, ou simplement continue, alors il correspond à $f$ un morphisme

$$H(f) : H(X) \to H(Y)$$

vérifiant les deux propriétés suivantes :

$$H(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{H(X)} \mbox{ et } H(g \circ f ) = H(g) \circ H(f).$$

En particulier, $H(X)$ est un invariant topologique : si $X$ et $Y$ sont deux variétés difféomorphes, ou deux espaces topologiques homéomorphes, alors les groupes $H(X)$ et $H(Y)$ sont isomorphes.

Le $\mathbb{Z}$-module

$$H_0 (X) = \mathbb{Z} [\pi_0 X]$$

librement engendré par les composantes connexes d’un espace topologique $X$ est un groupe abélien qui vérifie les conditions de naturalité ci-dessus. Il permet déjà de distinguer le tore $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ de la sphère $\mathbb{S}^2$ : toute courbe simple fermée sépare en effet la sphère en deux composantes connexes.

$$ $$

On explique ici et comment, partant de l’exemple des surfaces, Riemann et Betti ont commencé par généraliser la notion d’ordre de connexion d’une surface pour associer aux variétés de dimension quelconque des nombres qui en distinguent certaines. Mais ces notions sont encore vagues et difficiles à formaliser. Un saut conceptuel est réalisé par Poincaré dans son Analysis Situs lorsqu’il introduit la notion d’homologie. Toujours dans l’Analysis Situs, Poincaré introduit également le groupe fondamental dont on retrace ici la genèse chez Poincaré.

Dans cette partie « cours moderne », on propose une présentation de ces deux théories, à savoir :

  1. le groupe fondamental, et
  2. les différentes théories homologiques qui associent à $X$ une famille de groupes abéliens $H_k (X)$.

Les exemples que considère Poincaré dans ses mémoires sont principalement des variétés de dimension 3 et des surfaces complexes. On propose donc également les cours introductifs suivants.

  1. Topologie des variétés de dimension 3.
  2. Surfaces complexes.

Finalement, il est souvent bien pratique de considérer des espaces triangulés plutôt que des espaces, ou même des variétés, topologiques généraux. La rubrique Triangulation des variétés est un cours introductifs à la notion d’espace PL et contient une démonstration du fait que toute variété lisse peut être triangulée d’une manière essentiellement unique.

Entre 1895 et 1904, Henri Poincaré a fondé la topologie algébrique (alors appelée Analysis Situs) en publiant une série de six mémoires révolutionnaires. Ces textes fondateurs sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent et... côtoient les erreurs. L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles. Quelques historiens ou mathématiciens modernes ont cherché à analyser ces textes fondamentaux mais les articles sur ce sujet sont relativement courts, ne proposent pas une étude détaillée, et surtout sont destinés aux experts.

Pourtant, 130 ans plus tard, le contenu de ces mémoires reste non seulement d’actualité mais constitue un passage obligatoire pour tout apprenti topologue. Ce site a pour but de proposer un « objet pédagogique » d’une nature nouvelle permettant au lecteur d’acquérir une vision contemporaine du sujet à travers une approche historique.

Pour démarrer, il suffit de choisir l’une des trois « portes d’entrée » ci-dessus.

  • La première, par les œuvres, propose de commencer l’exploration de la topologie algébrique par les textes originaux de Poincaré ou des commentaires historiques.
  • La seconde, par les exemples, propose de plutôt commencer par un choix d’exemples pour la plupart tirés des textes de Poincaré.
  • Enfin la troisième et dernière « porte d’entrée » propose un véritable cours moderne de topologie, niveau master, regroupé en grands thèmes selon le même « plan » --- ou la même anarchie --- que le texte source, mais dans lequel la présentation, le style, les démonstrations et les méthodes employées sont celles du 21ème siècle.

Ces trois parcours sont évidemment intimement liés, laissez vous dériver au fil des nombreux liens.... Enfin ces parcours sont émaillés de nombreuses animations et cours filmés que vous pouvez également retrouver sur notre chaîne youtube.

Henri Paul de Saint-Gervais