§4. Application à quelques exemples

Désireux d’appliquer ce qui précède aux exemples signalés dans l’Analysis situs (p. 231 et suiv.), je dois d’abord faire une distinction entre plusieurs sortes de polyèdres.

Les polyèdres ordinaires ou de la première sorte seront ceux dont tous les $a_i^q$ sont des polyèdres simplement connexes (homéomorphes à des hypersphères) et tels que tous les éléments de ces $a_i^q$ soient distincts ; par exemple, dans l’espace ordinaire, le tétraèdre sera un polyèdre de la première sorte parce qu’il admet quatre faces qui sont des triangles et, par conséquent, des polygones simplement connexes (homéomorphes à des cercles), et que chacun de ces triangles a ses trois côtés distincts de même que ses trois sommets.

Les polyèdres de la seconde sorte seront ceux dont tous les $a_i^q$ seront des polyèdres simplement connexes, mais tels que tous les éléments de ces $a_i^q$ ne soient pas distincts. Soit, par exemple, dans l’espace ordinaire un tore ; par un point $A$ de la surface de ce tore menons un méridien et un parallèle. Ces deux coupures ne diviseront pas la surface du tore en deux régions, mais elles la rendront simplement connexe. Cette surface ainsi rendue simplement connexe sera homéomorphe à un rectangle, dont deux côtés opposés correspondraient aux deux lèvres de la coupure méridienne et les deux autres côtés aux deux lèvres de la coupure parallèle. Le tore forme ainsi une espèce de polyèdre qui n’a qu’une seule face ; cette face est un quadrilatère ; elle est donc simplement connexe ; mais les quatre côtés de ce quadrilatère ne sont pas distincts, deux se confondent avec la coupure méridienne et deux avec la coupure parallèle ; de même les quatre sommets ne sont pas distincts puisqu’ils se confondent tous les quatre avec le point $A$. Le polyèdre ainsi défini est donc un polyèdre de la seconde sorte.

Enfin, les polyèdres de la troisième sorte seront ceux dont tous les $a_i^q$ ne sont pas simplement connexes.

Les propriétés des polyèdres de la première sorte s’étendent pour la plupart à ceux de la seconde sorte. Observons toutefois une différence. Dans un polyèdre de la première sorte, toute [1] $a_j^{p-1}$ sépare l’une de l’autre deux $a_i^p$, et n’appartient à aucun autre $a_i^p$. Par conséquent, dans chaque colonne du tableau $T_p$ il y aura un des nombres $\epsilon_{ij}^p$ qui sera égal à $+1$, un autre à $-1$, et tous les autres à $0$.

Il n’en est plus de même avec les polyèdres de la seconde sorte. Il peut arriver que deux des $a_j^{p-1}$ d’une même $a_i^p$ ne soient pas distinctes. Dans ce cas, après avoir franchi cette $a_j^{p-1}$, on se retrouvera dans cette même $a_i^p$ où l’on était déjà avant de l’avoir passée. Ainsi pour reprendre notre tore de tout à l’heure, qui était un polyèdre à une seule face : après avoir passé la couture méridienne, par exemple, on se retrouvera toujours dans cette même et unique face où l’on était avant le passage. Il arrive alors que cette $a_j^{p-1}$ n’a de relation qu’avec cette $a_i^p$ ; et de plus, elle est deux fois en relation avec cette même $a_i^p$, une fois en relation directe, une autre fois en relation inverse, de sorte que les deux relations se compensant, le nombre $\epsilon_{ij}^p$ correspondant est égal à zéro. Dans ce cas, tous les nombres $\epsilon_{ij}^p$ qui figurent dans la colonne correspondante du tableau $T_p$ sont nuls.

Dans les exemples en question (p. 231 et suiv.), les variétés fermées à trois dimensions que l’on envisage peuvent être regardées comme des polyèdres de la seconde sorte. Chacun de ces polyèdres a une seule case (qui dans les premier, troisième et quatrième exemples est un cube, et dans le cinquième un octaèdre), mais les faces de cette case se confondent deux à deux.

$1^{\rm er}$ exemple :

$$ \begin{array}{c} \begin{array}{lclclclclclcl} 1^{\rm re} & \text{face} & ABDC &= & A'B'D'C',& & 1^{\rm re} & \text{arête} & AB &=& CD &=& A'B' &=& C'D' ;\\ 2^{\rm e} & \text{»} & ACC'A' &=& BDD'A', & & 2^{\rm e} & \text{»} & AC &= & BD& =& A'C'&= & B'D' ;\\ 3^{\rm e} & \text{»} & CDD'C'& =& ABB'A', & & 3^{\rm e} & \text{»} & AA' &=& BB'&=& CC'&= & DD' ; \end{array}\\ \text{Une case unique, un sommet unique.} \end{array} $$

Les trois tableaux $T_1$, $T_2$, $T_3$ se composent uniquement de zéros. Tous leurs invariants sont donc nuls.

$$ $$

$3^{\rm e}$ exemple :

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{lclclclclclcl} 1^{\rm re} & \text{face} & ABDC &=& B'D'C'A', & & 1^{\rm re} & \text{arete} & AB &=& B'D' &=& C'C ;\\ 2^{\rm e} & \text{»} & ABB'A' &=& C'CDD', & & 2^{\rm e} & \text{»} & AC &=& DD' &=& B'A' ;\\ 3^{\rm e} & \text{»} & ACC'A' &=& DD'B'B, & & 3^{\rm e} & \text{»} & AA' &=& C'D'&=& DB ;\\ &&& & & & 4^{e} & \text{»} & CD &=& BB' &=& A'C'; \end{array}\\ \begin{array}{cccc} {1^{\rm er} \text{ sommet } A=B'=C'=D,}&& & {2^{\rm e} \text{ sommet } B=D'=A'=C,} \end{array} \end{array} $$

$$ \begin{array}{ccc} \text{Tableau }T_3. & \text{Tableau }T_2. & \text{Tableau }T_1.\\ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} +1 & -1 & -1 & -1 \\ +1 & +1 & -1 & +1 \\ -1 & +1 & -1 & -1 \\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} +1 & -1 \\ +1 & -1 \\ +1 & -1 \\ -1 & +1 \\ \end{vmatrix} \end{array} $$

Le tableau $T_3$ n’a qu’un invariant qui est nul ; le tableau $T_1$ en a deux qui sont $0$ et $1$ ; le tableau $T_2$ en a trois qui sont $1$, $2$ et $2$.

$$ $$

$4^{\rm e}$ exemple :

$$ \begin{array}{c} \begin{array}{lclclclclclclcl} 1^{\rm re} & \text{face} & ABDC &=& B'D'C'A', & & 1^{\rm re} & \text{arête} & AA' &=& CC' &=& BB' &=&DD' ;\\ 2^{\rm e} & \text{»} & ABB'A' &=& CDD'C', & & 2^{\rm e} & \text{»} & AB & =& CD &=& B'D' &=& A'C' ;\\ 3^{\rm e} & \text{»} & ACC'A'&=& BDD'B', & & 3^{\rm e} & \text{»} & AC &=& BD &=& D'C' &=& B'A' ; \end{array}\\ \\ \text{Une case unique, un sommet unique.} \end{array} $$

$$ \begin{array}{ccc} \text{Tableau }T_3. & \text{Tableau }T_2. & \text{Tableau }T_1.\\ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & +1 & +1\\ 0 & +1 & -1\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{vmatrix} \end{array} $$

Les tableaux $T_1$ et $T_3$ n’ont qu’un invariant qui est $0$ ; le tableau $T_2$ en a trois qui sont $1$, $2$ et $0$.

$$ $$

$5^{\rm e}$ exemple :

$$ \begin{array}{lclclclclclclclcl} 1^{\rm re} & \text{face} & ABC & =& FED, & & 1^{\rm re} & \text{arête} & AB &=& FE, & & 1^{\rm r} & \text{sommet} & A &=& F; \\ 2^{\rm e} & \text{»} & ACE &=& FDB, & & 2^{\rm e} & \text{»} & AC &=& FD, & & 2^{\rm e} & \text{»} & B &=& E; \\ 3^{\rm e} & \text{»} & AED &=& FBC, & & 3^{\rm e} & \text{»} & AE &= & FB, & & 3^{\rm e} & \text{»} & C &=& D; \\ 4^{\rm e} & \text{»} & ADB&=& FCE, & & 4^{\rm e} & \text{»} & AD &=& FC ; & & &&& \\ &&& & & & 5^{\rm e} & \text{»} & BC &=& ED ; & & &&& \\ &&& & & & 6^{\rm e} & \text{»} & CE &= & DB. & & &&& \end{array} $$

$$ \begin{array}{ccc} \text{Tableau }T_3. & \text{Tableau }T_2. & \text{Tableau }T_1.\\ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} +1 & -1 & 0 & 0 & +1 & 0 \\ 0 & +1 & -1 & 0 & 0 & +1 \\ 0 & 0 & +1 & -1 & +1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & +1 & 0 & +1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} +1 & -1 & 0 \\ +1 & 0 & -1 \\ +1 & -1 & 0 \\ +1 & -1 & 0 \\ 0 & +1 & -1 \\ 0 & -1 & +1 \end{vmatrix} \end{array} $$

Les invariants sont :

$$ 0 \text{ pour } T_3;\quad 2, 1, 1 \text{ et } 1 \text{ pour } T_2; \quad 0, 1 \text{ et } 1 \text{ pour } T_1. $$

Passons maintenant au sixième exemple (p. 237).

Ainsi qu’on l’a vu (§ 14, p. 248), les équivalences fondamentales s’écrivent

$$ \begin{array}{lcl} C_1 + C_2 & \equiv & C_2 + C_1,\\ C_1 + C_3 & \equiv &C_3 + \alpha C_1 + \gamma C_2,\\ C_2 + C_3 & \equiv &C_3 + \beta C_1 + \delta C_2. \end{array} $$

Pour écrire les homologies qui peuvent se déduire des homologies fondamentales par addition et multiplication, mais sans division, il suffit de se donner le droit d’intervertir l’ordre des termes dans les deux membres de ces équivalences fondamentales ; on trouve ainsi

$$ 0 \sim 0 ; \quad (\alpha - 1)C_1 + \gamma C_2 \sim 0 ; \quad \beta C_1 + (\delta - 1) C_2 \sim 0. $$

Le déterminant

$$ (\alpha - 1)(\delta - 1) - \beta \gamma $$

est égal à

$$ 2 - \alpha - \delta. $$

Soit, d’autre part, $\mu$ le plus grand commun diviseur des quatre nombres

$$ \alpha - 1,\quad \delta - 1, \quad \beta, \quad \gamma ; $$

l’examen des homologies que nous venons d’écrire montre que les deux invariants du tableau $T_2$ qui ne sont pas égaux à $0$ ou à $1$ sont égaux à

$$ \mu \text{ et } \frac{2 - \alpha - \delta}{\mu}. $$

(Le nombre $\mu$ peut d’ailleurs être égal à $1$.)

Quant aux invariants des tableaux $T_1$ et $T_3$, ils sont toujours tous, comme nous le verrons plus loin, égaux à $0$ ou à $1$.

Soit, par exemple,

$$ \alpha = -1, \quad \beta = 1, \quad \gamma = -1, \quad \delta = 0. $$

On a

$$ \mu = 1, \quad 2 - \alpha - \delta = 3, $$

de sorte que l’un de nos invariants est égal à $3$ et l’autre à $1$.

Cela peut d’ailleurs se vérifier en formant le tableau $T_2$. Soient

$$ (x+1, y, z), \quad (x, y + 1, z), \quad (-x + y, -x, z + 1) $$

les trois substitutions du groupe $G$, que j’appellerai $S_1$, $S_2$ et $S_3$, et qui correspondront aux trois contours fondamentaux $C_1$, $C_2$, $C_3$ (§ 13, p. 246).

La variété étudiée peut être regardée comme engendrée par le cube $ABCDA'B'C'D'$ (§ 10, p. 231). Seulement la face $ABCD$ devra être considérée comme décomposée en deux triangles $ABD$ et $ACD$, de même que la face $A'B'C'D'$ en deux triangles $D'A'B'$ et $C'D'A'$.

Il est aisé de voir que la face $ABB'A'$ est changée en $CDD'C'$ par la substitution $S_2$, la face $ACC'A'$ en $BDD'B'$ par la substitution $S_1$, la face $ABD$ en $D'A'B'$ par la substitution $S_3 S_1 S_2$, la face $ACD$ en $C'D'A'$ par la substitution $S_3S_2$.

Notre polyèdre a donc :

1. Une seule case ;
2. Quatre faces, à savoir :

   $$ \begin{array}{lclcl} 1^{\rm re} & \text{face} & ABB'A' &=& CDD'C', \\ 2^{\rm e} & \text{»} & ACC'A' &=& BDD'B' \\ 3^{\rm e} & \text{»} & ABD &=& D'A'B', \\ 2^{\rm e} & \text{»} & ACD &=& C'D'A' ; \end{array}$$

1. Quatre arêtes, à savoir :

   $$ \begin{array}{lclclclcl} 1^{\rm re} & \text{arête} & AA' &=& BB'&= & CC' &=& DD', \\ 2^{\rm e} & \text{»} & AB &=& CD &=& {D'A',}&& \\ 3^{\rm e} & \text{»} & AC &=& BD &=& C'D' &=& A'B',\\ 4^{\rm e} & \text{»} & AD &=& C'A' &=& {D'B';}& & \end{array} $$

1. Un seul sommet.

Les tableaux $T_1$ et $T_3$ sont entièrement composés de zéros.

Voici [2] le tableau $T_2$ :

$$ \begin{vmatrix} 0 & +1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & +1 & +1 \\ 0 & +1 & +1 & -1 \\ 0 & +1 & +1 & -1 \end{vmatrix}\, . $$

On voit que les invariants de ce tableau sont $1$, $1$, $3$, $0$.

Passons maintenant à l’exemple de M. Heegaard. Soient $x_1$, $x_2$, $y_1$, $y_2$, $z_1$, $z_2$ les coordonnées d’un point dans l’espace à six dimensions ; soit

$$ \begin{array}{l} x = x_1 + x_2 \sqrt{-1}=|x| e^{\xi\sqrt{-1}},\\ y = y_1 + y_2 \sqrt{-1}=|y| e^{\eta\sqrt{-1}},\\ z = z_1 + z_2 \sqrt{-1}=|z| e^{\zeta\sqrt{-1}}. \end{array} $$

Notre variété aura pour équations

$$ z^2 = xy, \quad x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 1, $$

d’où

$$ |z^2| = |xy|,\quad \zeta = \frac{\xi + \eta}{2}, \quad |x^2| + |y^2| = 1. $$

Pour obtenir la variété tout entière, il faut que nous fassions varier :

1. $|x|$ de $0$ à $1$, ce qui fait varier en même temps $|y|$ de $1$ à $0$ ;
2. $\eta$ de $0$ à $2\pi$ ;
3. $\xi + \eta$ de $0$ à $4\pi$.

Le polyèdre ainsi obtenu a une seule case définie par les inégalités

$$ 0 < |x| < 1, \quad 0 < \eta < 2\pi, \quad 0 < \xi + \eta < 4 \pi. $$

Il a deux faces définies par les relations suivantes :

$1^{\rm re}$ face :

$$ \eta = 0, \quad 0 < |x| < 1, \quad 0 < \xi < 4\pi \,; $$

cette face est identique à la suivante :

$$ \eta = 2\pi, \quad 0 < |x| < 1, \quad -2\pi < \xi < 2\pi. $$

$2^{\rm e}$ face :

$$ \xi + \eta = 0, \quad 0 < |x| < 1, \quad 0 < \eta < 2\pi\,; $$

cette face est identique à la suivante :

$$ \xi + \eta = 4\pi, \quad 0 < |x| < 1, \quad 0 < \eta < 2\pi. $$

Il a trois arêtes définies par les relations suivantes :

$1^{\rm re}$ arête :

$$ \xi = \eta = 0, \quad 0 < |x| < 1 \,; $$

cette arête est identique aux trois suivantes :

$$ \begin{array}{lll} \xi = 0, & \eta = 2\pi,& 0 < |x| < 1 \, \\ \xi = -2\pi, & \eta = 2\pi, & 0 < |x| < 1 \, \\ \xi = \eta = 2\pi, & &0 < |x| < 1 \, \end{array} $$

$2^{\rm e}$ arête :

$$ x_1 = x_2 = 0, \quad 0 < \eta < 2\pi \,; $$

$3^{\rm e}$ arête :

$$ y_1 = y_2 = 0, \quad -2\pi < \xi < 0, $$

identique aux deux suivantes :

$$ \begin{array}{rl} y_1 = y_2 = 0, & 0 < \xi < 2\pi \,; \\ y_1 = y_2 = 0, & 2\pi < \xi < 4\pi.\\ \end{array} $$

Il a enfin deux sommets, à savoir :

$1^{\rm er}$ sommet :

$$ x_1 = x_2 = 0, \quad \eta = 0, $$

identique au suivant :

$$ x_1 = x_2 = 0, \quad \eta = 2\pi \,; $$

$2^{\rm e}$ sommet :

$$ y_1 = y_2 = 0, \quad \xi = -2\pi, $$

identique aux trois suivants :

$$ \begin{array}{l} y_1 = y_2 = 0, \quad \xi = \, 0 \,;\\ y_1 = y_2 = 0, \quad \xi = \, 2\pi \,; \\ y_1 = y_2 = 0, \quad \xi = \, 4\pi.\\ \end{array} $$

Le tableau $T_3$ est entièrement composé de zéros ; quant aux tableaux $T_1$ et $T_2$, ils s’écrivent

$$ T_2 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & +2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}\; ; \quad T_1 = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \,. $$

On voit que les invariants sont $0$, $2$ et $1$ pour $T_2$, $0$ et $1$ pour $T_1$.